Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y=x/(x−2). Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Hàm số  \( y=\frac{x}{x-2} \) có đồ thị (C) như hình vẽ.

Gọi  \( A\left( a;\frac{a}{a-2} \right) \) và  \( B\left( b;\frac{b}{b-2} \right) \) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C)  \( \left( a < 2 < b \right) \)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( b-a;\frac{b}{b-2}-\frac{a}{a-2} \right)=\left( b-a;\frac{b-a}{(b-2)(2-a)} \right) \).

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có:  \( \left( b-2 \right)\left( 2-a \right)\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{4} \).

Suy ra:  \( A{{B}^{2}}={{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( b-2 \right)\left( 2-a \right) \right]}^{2}}}\ge {{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{64}{{{\left( b-a \right)}^{2}}}\ge 16 \)

 \( \Rightarrow AB\ge 4 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( a=2-\sqrt{2} \) và  \( b=2+\sqrt{2} \)

Vậy  \( A{{B}_{\min }}=4 \).