Cho phương trình: \( m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \) (*)
a) Giải phương trình khi \( m=\frac{1}{2} \).
b) Tìm m để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).
Hướng dẫn giải:
Với điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \)
\(\Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{2\sin x\cos x}=0\)
\( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+\sin 2x+(1+\cos x+\sin x)=0 \)
\( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+{{(\sin x+\cos x)}^{2}}+\sin x+\cos x=0 \)
\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ m\sin 2x+\sin x+\cos x+1 \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & m\sin 2x+\sin x+\cos x+1=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).
Xét (2) đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) thì \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).
Do \( \sin 2x\ne 0 \) nên \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \).
Vậy (*) thành: \( \left[ \begin{align} & t=0 \\ & m({{t}^{2}}-1)+t+1=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0\text{ }(n) \\ & m(t-1)+1=0\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \\ \end{align} \right. \).
a) Khi \( m=\frac{1}{2} \) thì ta được:
\(\left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \tan x=-1\)
\( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) Ta có: \( 0<x<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{4}<x-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4} \).
Lúc đó: \( \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Rightarrow 1<t\le \sqrt{2} \).
Do \( t=0\notin \left( 1;\sqrt{2} \right] \) nên ta xét phương trình: \( m(t-1)+1=0 \) (**)
\( \Leftrightarrow mt=m-1\Leftrightarrow t=1-\frac{1}{m} \) (do m = 0 thì (**) vô nghiệm)
Do đó: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 1<1-\frac{1}{m}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{1}{m}>0 \\ & 1-\sqrt{2}\le \frac{1}{m} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & m\le \frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -\sqrt{2}-1 \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!