Giải phương trình: sinx+sin^2x+sin^3x+sin^4x=cosx+cos^2x+cos^3x+cos^4x

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)+({{\sin }^{2}}x-co{{s}^{2}}x)+({{\sin }^{3}}x-co{{s}^{3}}x)+({{\sin }^{4}}x-co{{s}^{4}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)+(\sin x-cosx)(\sin x+\cos x)+(\sin x-cosx)(1+\sin x\cos x) \)

 \( +(\sin x-cosx)(\sin x+\cos x)=0 \).

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x-\cos x=0 \\  & 1+(\sin x+\cos x)+(1+\sin x.\cos x)+(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x-\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x+2=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) thì

 \( {{t}^{2}}=1+2sinxcosx \)

(2) thành:  \( 2t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}+2=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1\text{ }(n) \\  & t=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\pi +k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).