Giải phương trình 2√(sinx+cosx)=tanx+cotx

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \sin x\ne 0 \\  & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*)\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)

 \( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x} \).

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì:

 \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \) với  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)và  \( {{t}^{2}}\ne 1 \) .

(*) thành  \( \sqrt{2}t=\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{3}}-\sqrt{2}t-2=0 \) (Hiển nhiên  \( t=\pm 1 \) không là nghiệm)

 \( \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(\sqrt{2}{{t}^{2}}+2t+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\sqrt{2} \\  & {{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right. \).

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).