Cho phương trình: m(sinx+cosx)+1+1/2(tanx+cotx+1/sinx+1/cosx)=0

Cho phương trình: \( m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{1}{2} \).

b) Tìm m để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{2\sin x\cos x}=0\)

 \( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+\sin 2x+(1+\cos x+\sin x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+{{(\sin x+\cos x)}^{2}}+\sin x+\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ m\sin 2x+\sin x+\cos x+1 \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & m\sin 2x+\sin x+\cos x+1=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Xét (2) đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) thì  \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Do  \( \sin 2x\ne 0 \) nên  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \).

Vậy (*) thành:  \( \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & m({{t}^{2}}-1)+t+1=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\text{ }(n) \\  & m(t-1)+1=0\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{1}{2} \) thì ta được:

\(\left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \tan x=-1\)

 \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( 0<x<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{4}<x-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4} \).

Lúc đó:  \( \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Rightarrow 1<t\le \sqrt{2} \).

Do  \( t=0\notin \left( 1;\sqrt{2} \right] \) nên ta xét phương trình:  \( m(t-1)+1=0 \)  (**)

 \( \Leftrightarrow mt=m-1\Leftrightarrow t=1-\frac{1}{m} \) (do m = 0 thì (**) vô nghiệm)

Do đó: yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 1<1-\frac{1}{m}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -\frac{1}{m}>0 \\ & 1-\sqrt{2}\le \frac{1}{m} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & m\le \frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -\sqrt{2}-1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *