Cho phương trình: m(sinx+cosx)+1+1/2(tanx+cotx+1/sinx+1/cosx)=0

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{2\sin x\cos x}=0\)

 \( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+\sin 2x+(1+\cos x+\sin x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+{{(\sin x+\cos x)}^{2}}+\sin x+\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ m\sin 2x+\sin x+\cos x+1 \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & m\sin 2x+\sin x+\cos x+1=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Xét (2) đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) thì  \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Do  \( \sin 2x\ne 0 \) nên  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \).

Vậy (*) thành:  \( \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & m({{t}^{2}}-1)+t+1=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\text{ }(n) \\  & m(t-1)+1=0\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{1}{2} \) thì ta được:

\(\left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \tan x=-1\)

 \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( 0<x<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{4}<x-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4} \).

Lúc đó:  \( \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Rightarrow 1<t\le \sqrt{2} \).

Do  \( t=0\notin \left( 1;\sqrt{2} \right] \) nên ta xét phương trình:  \( m(t-1)+1=0 \)  (**)

 \( \Leftrightarrow mt=m-1\Leftrightarrow t=1-\frac{1}{m} \) (do m = 0 thì (**) vô nghiệm)

Do đó: yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 1<1-\frac{1}{m}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -\frac{1}{m}>0 \\ & 1-\sqrt{2}\le \frac{1}{m} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & m\le \frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -\sqrt{2}-1 \).