Cho phương trình cos^3x+sin^3x=msinxcosx

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)=m\sin x\cos x \).

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì  \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \)

Vậy (*) thành  \( t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=m.\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \).

a) Khi \( m=\sqrt{2} \) ta có phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=\sqrt{2}({{t}^{2}}-1) \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{3}}+\sqrt{2}{{t}^{2}}-3t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left( t-\sqrt{2} \right)\left( {{t}^{2}}+2\sqrt{2}t+1 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\sqrt{2}\text{ }(n) \\  & t=-\sqrt{2}+1\text{ }(n) \\  & t=-\sqrt{2}-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

+ Với  \( t=\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & x=k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với  \( t=1-\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

b) Xét phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \) (**)

Do  \( t=\pm 1 \) không là nghiệm của (**) nên

(**) \( \Leftrightarrow m=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \).

Xét  \( y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \)  (C) trên  \( \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \).

Ta có:  \( {y}’=\frac{-{{t}^{4}}-3}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}<0,\text{ }\forall t\ne \{\pm 1\} \).

Suy ra y giảm trên  \( (-1;1) \) và  \( \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \) .

Do đó trên  \( (-1;1)\subset \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \), ta có:  \( (d):y=m \) cắt  \( (C):y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1},\text{ }\forall m\in \mathbb{R} \).

Vậy (*) có nghiệm  \( \forall m\in \mathbb{R} \).