Cho phương trình \( {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x=m\sin x\cos x \) (*)
a) Giải phương trình khi \( m=\sqrt{2} \).
b) Tìm m để (*) có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)=m\sin x\cos x \).
Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)
Thì \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \)
Vậy (*) thành \( t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=m.\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \).
a) Khi \( m=\sqrt{2} \) ta có phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=\sqrt{2}({{t}^{2}}-1) \)
\( \Leftrightarrow {{t}^{3}}+\sqrt{2}{{t}^{2}}-3t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left( t-\sqrt{2} \right)\left( {{t}^{2}}+2\sqrt{2}t+1 \right)=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\sqrt{2}\text{ }(n) \\ & t=-\sqrt{2}+1\text{ }(n) \\ & t=-\sqrt{2}-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
+ Với \( t=\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
+ Với \( t=1-\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).
b) Xét phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \) (**)
Do \( t=\pm 1 \) không là nghiệm của (**) nên
(**) \( \Leftrightarrow m=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \).
Xét \( y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \) (C) trên \( \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \).
Ta có: \( {y}’=\frac{-{{t}^{4}}-3}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}<0,\text{ }\forall t\ne \{\pm 1\} \).
Suy ra y giảm trên \( (-1;1) \) và \( \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \) .
Do đó trên \( (-1;1)\subset \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \), ta có: \( (d):y=m \) cắt \( (C):y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1},\text{ }\forall m\in \mathbb{R} \).
Vậy (*) có nghiệm \( \forall m\in \mathbb{R} \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!