Giải phương trình: 3tan^2x+4tanx+4cotx+3cot^2x+2=0

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì  \( {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \).

(*) thành:  \( 3({{t}^{2}}-2)+4t+2=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+4t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{2}{3}\text{ }(\ell ) \\  & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Với  \( t=-2\Leftrightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \)

 \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).