Giải phương trình: sinx+sin^2x+cos^3x=0

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow \sin x(1+\sin x)+\cos x(1-{{\sin }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x(1+\sin x)+\cos x(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1+\sin x)\left[ \sin x+\cos x(1-\sin x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=-1\begin{matrix}   {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x+\cos x-\sin x\cos x=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+  \( (1)\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2): Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} thì {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Vậy (2) thành:  \( t-\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1-\sqrt{2}\text{ }(n) \\  & t=1+\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \)  \( \Leftrightarrow x-\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \right)+h2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \right)+h2\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).