Giải phương trình: tanx+tan^2x+tan^3x+cotx+cot^2x+cot^3x=6

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+({{\tan }^{3}}x+{{\cot }^{3}}x)=6 \)

 \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+(\tan x+\cot x)({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x-1)=6 \)

 \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}+(\tan x+\cot x)\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-3 \right]=8 \) (**)

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Khi đó phương trình (**) thành:  \( t+{{t}^{2}}+t({{t}^{2}}-3)=8\Leftrightarrow {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-8=0 \)

\(\Leftrightarrow (t-2)({{t}^{2}}+3t+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2\text{ }(n) \\  & {{t}^{2}}+3t+4=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với  \( t=2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=2\Leftrightarrow \sin 2x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).