Cho phương trình: 1/cos^2x+cot^2x+m(tanx+cotx)+2=0

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+co{{t}^{2}}x+m(tanx+cotx)+3=0 \)

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \) (điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \))

 \( \Rightarrow {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \)

Phương trình (1) thành:  \( {{t}^{2}}+mt+1=0 \)   (2)

a) Khi \( m=\frac{5}{2} \) ta được phương trình: \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=-2\text{ }(n) \\  & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b)

Ta có:  \( (2)\Leftrightarrow mt=-1-{{t}^{2}}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{t}-t \) (do  \( t=0 \) không là nghiệm của (2))

Xét  \( y=-\frac{1}{t}-t \) với  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì  \( {y}’=\frac{1}{{{t}^{2}}}-1=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}} \).

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \).

Do đó (1) có nghiệm  \( \Leftrightarrow (d):y=m \) cắt  \( (C):y=-\frac{1}{t}-t \) trên  \( \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right) \)

 \( \Leftrightarrow m\le -\frac{5}{2}\vee m\ge \frac{5}{2} \).