Cho phương trình: \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+{{\cot }^{2}}x+m(\tan x+\cot x)+2=0 \) (1)
a) Giải phương trình khi \( m=\frac{5}{2} \).
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( (1)\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+co{{t}^{2}}x+m(tanx+cotx)+3=0 \)
Đặt \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \) (điều kiện \( \left| t \right|\ge 2 \))
\( \Rightarrow {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \)
Phương trình (1) thành: \( {{t}^{2}}+mt+1=0 \) (2)
a) Khi \( m=\frac{5}{2} \) ta được phương trình: \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-2\text{ }(n) \\ & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)
\( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b)
Ta có: \( (2)\Leftrightarrow mt=-1-{{t}^{2}}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{t}-t \) (do \( t=0 \) không là nghiệm của (2))
Xét \( y=-\frac{1}{t}-t \) với \( \left| t \right|\ge 2 \).
Thì \( {y}’=\frac{1}{{{t}^{2}}}-1=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}} \).
Ta có: \( {y}’=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \).
Do đó (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow (d):y=m \) cắt \( (C):y=-\frac{1}{t}-t \) trên \( \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right) \)
\( \Leftrightarrow m\le -\frac{5}{2}\vee m\ge \frac{5}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!