Cho phương trình: cos^3x−sin^3x=m

Cho phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x=m \)   (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ \( t=\cos x-\sin x \).

b) Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=m \).

Đặt  \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Khi đó (1) thành:  \( t\left( 1+\frac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=m\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=2m \)  (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+t-2)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Nếu \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( 0\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2} \) nên  \( 0\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le t=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2} \)

Nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

Ta tìm duy nhất một  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Xét  \( f(t)=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

 \( \Rightarrow {f}'(t)=-3{{t}^{2}}+3 \).

Vậy (1) có đúng hai nghiệm  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \)

 \( \Leftrightarrow (d):y=2m \) cắt  \( (C):y=-{{t}^{3}}+3t \) trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \) tại 2 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\le 2m<2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le m<1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *