Cho phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x=m \) (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ \( t=\cos x-\sin x \).
b) Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( (1)\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=m \).
Đặt \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).
Thì \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).
Khi đó (1) thành: \( t\left( 1+\frac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=m\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=2m \) (2)
a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+t-2)=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) Nếu \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( 0\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2} \) nên \( 0\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \)
\( \Leftrightarrow 0\le t=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2} \)
Nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).
Ta tìm duy nhất một \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).
Xét \( f(t)=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).
\( \Rightarrow {f}'(t)=-3{{t}^{2}}+3 \).
Vậy (1) có đúng hai nghiệm \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \)
\( \Leftrightarrow (d):y=2m \) cắt \( (C):y=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \) tại 2 điểm phân biệt
\( \Leftrightarrow \sqrt{2}\le 2m<2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le m<1 \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!