Cho phương trình: cos^3x−sin^3x=m

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=m \).

Đặt  \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Khi đó (1) thành:  \( t\left( 1+\frac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=m\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=2m \)  (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+t-2)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Nếu \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( 0\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2} \) nên  \( 0\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le t=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2} \)

Nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

Ta tìm duy nhất một  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Xét  \( f(t)=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

 \( \Rightarrow {f}'(t)=-3{{t}^{2}}+3 \).

Vậy (1) có đúng hai nghiệm  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \)

 \( \Leftrightarrow (d):y=2m \) cắt  \( (C):y=-{{t}^{3}}+3t \) trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \) tại 2 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\le 2m<2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le m<1 \).