Cho phương trình: 2cos2x+sin^2xcosx+sinxcos^2x=m(sinx+cosx)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=m(\sin x+\cos x) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)\left[ 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x-m \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x+\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x=m\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Phương trình (2) thành:  \( 2t+\frac{1-{{t}^{2}}}{2}=m\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+4t+1=2m \)  (**)

a) Khi \( m=2 \) thì (**) thành: \( {{t}^{2}}-4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right] \).

\(\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow -1\le t\le 1\).

Do nghiệm  \( x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \notin \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],\text{ }\forall k\in \mathbb{R} \).

Nên yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \) (**) có nghiệm trên  \( [-1;1] \).

Xét  \( y=-{{t}^{2}}+4t+1 \) thì  \( {y}’=-2t+4>0,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow y \) đồng biến trên  \( [-1;1] \).

Do đó: yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow -4=y(-1)\le 2m\le y(1)=4\Leftrightarrow -2\le m\le 2 \).