Cho phương trình: \( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}xcosx+sinxco{{s}^{2}}x=m(\sin x+\cos x) \) (*)
a) Giải phương trình khi \( m=2 \).
b) Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=m(\sin x+\cos x) \)
\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)\left[ 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x-m \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x+\sin x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x=m\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).
Đặt \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).
Thì \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).
Ta có: \( (1)\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Phương trình (2) thành: \( 2t+\frac{1-{{t}^{2}}}{2}=m\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+4t+1=2m \) (**)
a) Khi \( m=2 \) thì (**) thành: \( {{t}^{2}}-4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \(\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right] \).
\(\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow -1\le t\le 1\).
Do nghiệm \( x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \notin \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],\text{ }\forall k\in \mathbb{R} \).
Nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) (**) có nghiệm trên \( [-1;1] \).
Xét \( y=-{{t}^{2}}+4t+1 \) thì \( {y}’=-2t+4>0,\forall t\in [-1;1] \).
\( \Rightarrow y \) đồng biến trên \( [-1;1] \).
Do đó: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow -4=y(-1)\le 2m\le y(1)=4\Leftrightarrow -2\le m\le 2 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!