Cho phương trình 3log27[2×2−(m+3)x+1−m]+log13(x2−x+1−3m)=0. Số các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 Ta có:  \( 3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ & 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m={{x}^{2}}-x+1-3m \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(*) \\ & {{x}^{2}}-(m+2)x+2m=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ \end{align} \right.  \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ \left [ \begin{matrix}x=m \\ x=2 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m+1-3m>0 \\ & {{2}^{2}}-1+1-3m>0 \\ & m\ne 2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-4m+1>0 \\ & 4-3m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<2-\sqrt{3} \).

Theo giả thiết:  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<225 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-221<0\Leftrightarrow -13<m<17 \)

Do đó:  \( -13<m<2-\sqrt{3} \)

Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13.