Cho phương trình log22(2x)−(m+2)log2x+m−2=0 (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

\(\log _{2}^{2}(2x)-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ 1+{{\log }_{2}}x \right]}^{2}}-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\) (*)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x=g(x)\Rightarrow 0\le t\le 1  \) và mỗi giá trị của x sẽ cho một giá trị của t

(*) trở thành  \( {{\left( 1+t \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1-mt-2t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=m(t-1)\Leftrightarrow (t-1)(t+1-m)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=m-1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & t=1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Với t = 1 thì phương trình có một nghiệm x = 2.

Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có một nghiệm  \( t\ne 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le m-1<1\Leftrightarrow 1\le m<2 \)

Vậy  \( m\in \left[ 1;2 \right) \) để thỏa yêu cầu bài toán.