Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}\), với m là tham số; gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị (C) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d.
A. \( k=-\frac{1}{3} \)
B. \( k=\frac{1}{3} \)
C. \( k=-3 \)
D. \( k=3 \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Tập xác định: \( D=\mathbb{R} \)
Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right) \) và \( {y}”=6x-6m \).
Khi đó: \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0 \)
\( {\Delta }’=9{{m}^{2}}-9\left( {{m}^{2}}-1 \right)=9 \) nên hàm số luôn có hai điểm cực trị \( x=\frac{3m+3}{3}=m+1 \) và \( x=\frac{3m-3}{3}=m-1 \).
\( {y}”\left( m-1 \right)=6\left( m-1 \right)-6m=-6<0 \) \( \Rightarrow x=m-1 \) là điểm cực đại của hàm số.
\( \Rightarrow A\left( m-1;-3m+2 \right) \) là điểm cực đại của đồ thị (C).
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{A}}=m-1 \\ & {{y}_{A}}=-3m+2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{y}_{A}}=-3{{x}_{A}}-1 \)
\( \Rightarrow \) A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình \( y=-3x-1 \).
Do đó, hệ số góc k của đường thẳng d là \( -3 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!