Cho hàm số y=x^3−3mx^2+3(m^2−1)x−m^3, với m là tham số; gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị (C) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right) \) và  \( {y}”=6x-6m  \).

Khi đó:  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0 \)

 \( {\Delta }’=9{{m}^{2}}-9\left( {{m}^{2}}-1 \right)=9 \) nên hàm số luôn có hai điểm cực trị  \( x=\frac{3m+3}{3}=m+1 \) và  \( x=\frac{3m-3}{3}=m-1 \).

 \( {y}”\left( m-1 \right)=6\left( m-1 \right)-6m=-6<0 \) \( \Rightarrow x=m-1 \) là điểm cực đại của hàm số.

 \( \Rightarrow A\left( m-1;-3m+2 \right) \) là điểm cực đại của đồ thị (C).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{A}}=m-1 \\  & {{y}_{A}}=-3m+2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{y}_{A}}=-3{{x}_{A}}-1 \)

 \( \Rightarrow  \) A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình  \( y=-3x-1 \).

Do đó, hệ số góc k của đường thẳng d là  \( -3 \).