Cho a > 1. Biết khi a = aO thì bất phương trình \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}} \) đúng với mọi \( x\in \left( 1;+\infty \right) \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \( 1<{{a}_{0}}<2 \)
B. \( e<{{a}_{0}}<{{e}^{2}} \)
C. \( 2<{{a}_{0}}<3 \)
D. \( {{e}^{2}}<{{a}_{0}}<{{e}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
\( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}}\Leftrightarrow a.\ln x\le x.\ln a\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le \frac{x}{\ln x} \)
Đặt \( f(x)=\frac{x}{\ln x},x\in \left( 1;+\infty \right) \)
\( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \), \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=e \)
Bảng biến thiên:
Bất phương trình nghiệm đúng \( \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le e \)
\( \Leftrightarrow a\le e.\ln a\Leftrightarrow a-e.\ln a\le 0 \)
Xét hàm số: \( g(x)=x-e\ln x \); \( {g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} \)
\( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e \)
Do đó, \( a-e\ln a\ge 0 \)
Theo bảng biến thiên, ta có: \( a-e\ln a\le 0\Leftrightarrow a=e \)
Vậy \( a={{a}_{0}}=e\in \left( 2;3 \right) \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!