Cho a >1. Biết khi a = aO thì bất phương trình x^a≤a^x đúng với mọi x∈(1;+∞)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}}\Leftrightarrow a.\ln x\le x.\ln a\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le \frac{x}{\ln x} \)

Đặt  \( f(x)=\frac{x}{\ln x},x\in \left( 1;+\infty  \right) \)

 \( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \),  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Bảng biến thiên:

Bất phương trình nghiệm đúng  \( \forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le e  \)

 \( \Leftrightarrow a\le e.\ln a\Leftrightarrow a-e.\ln a\le 0 \)

Xét hàm số:  \( g(x)=x-e\ln x  \);  \( {g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} \)

 \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Do đó,  \( a-e\ln a\ge 0 \)

Theo bảng biến thiên, ta có:  \( a-e\ln a\le 0\Leftrightarrow a=e  \)

Vậy  \( a={{a}_{0}}=e\in \left( 2;3 \right) \).