Cho a >1. Biết khi a = aO thì bất phương trình x^a≤a^x đúng với mọi x∈(1;+∞)

Cho a > 1. Biết khi a = aO thì bất phương trình \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}} \) đúng với mọi  \( x\in \left( 1;+\infty  \right) \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( 1<{{a}_{0}}<2 \)

B.  \( e<{{a}_{0}}<{{e}^{2}} \)                             

C.  \( 2<{{a}_{0}}<3 \)           

D.  \( {{e}^{2}}<{{a}_{0}}<{{e}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}}\Leftrightarrow a.\ln x\le x.\ln a\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le \frac{x}{\ln x} \)

Đặt  \( f(x)=\frac{x}{\ln x},x\in \left( 1;+\infty  \right) \)

 \( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \),  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Bảng biến thiên:

Bất phương trình nghiệm đúng  \( \forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le e  \)

 \( \Leftrightarrow a\le e.\ln a\Leftrightarrow a-e.\ln a\le 0 \)

Xét hàm số:  \( g(x)=x-e\ln x  \);  \( {g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} \)

 \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e  \)

Do đó,  \( a-e\ln a\ge 0 \)

Theo bảng biến thiên, ta có:  \( a-e\ln a\le 0\Leftrightarrow a=e  \)

Vậy  \( a={{a}_{0}}=e\in \left( 2;3 \right) \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *