Cho a > 1. Biết khi a = aO thì bất phương trình \( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}} \) đúng với mọi \( x\in \left( 1;+\infty \right) \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \( 1<{{a}_{0}}<2 \)
B. \( e<{{a}_{0}}<{{e}^{2}} \)
C. \( 2<{{a}_{0}}<3 \)
D. \( {{e}^{2}}<{{a}_{0}}<{{e}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
\( {{x}^{a}}\le {{a}^{x}}\Leftrightarrow a.\ln x\le x.\ln a\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le \frac{x}{\ln x} \)
Đặt \( f(x)=\frac{x}{\ln x},x\in \left( 1;+\infty \right) \)
\( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x} \), \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=e \)
Bảng biến thiên:
Bất phương trình nghiệm đúng \( \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \frac{a}{\ln a}\le e \)
\( \Leftrightarrow a\le e.\ln a\Leftrightarrow a-e.\ln a\le 0 \)
Xét hàm số: \( g(x)=x-e\ln x \); \( {g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} \)
\( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e \)
Do đó, \( a-e\ln a\ge 0 \)
Theo bảng biến thiên, ta có: \( a-e\ln a\le 0\Leftrightarrow a=e \)
Vậy \( a={{a}_{0}}=e\in \left( 2;3 \right) \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!