Tìm m để phương trình |f(x−1)+2|=m có 4 nghiệm thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4

Cho hàm số \( y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \) có bảng biến thiên như sau:

 

Tìm m để phương trình  \( \left| f(x-1)+2 \right|=m \) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \).

A. \( 4<m<6 \).

B.  \( 3<m<6 \).               

C.  \( 2<m<6 \).              

D.  \( 2<m<4 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đồ thị hàm số  \( y=\left| f(x-1)+2 \right| \) thu được bằng cách biến đổi đồ thị như sau:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) sang phải 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số  \( y=f(x-1)+2 \);

+ Với đồ thị hàm số  \( y=\left| f(x-1)+2 \right| \): Giữa nguyên phần nằm bên trên trục hoành, lấy đối xứng phần nằm bên dưới trục hoành qua trục hoành rồi xóa phần nằm bên dưới trục hoành đi.

Do đó ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:  \( 4<m<6 \).

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có f′(1)=3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và m∈[−10;10] để

Cho hàm số bậc ba \( y=f(x) \) có  \( {f}'(1)=3 \) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và  \( m\in [-10;10] \) để phương trình  \( \ln \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}+x[f(x)-3mx]=3m{{x}^{3}}-f(x) \) có hai nghiệm dương phân biệt?


A. 18.

B. 9.

C. 10.                               

D. 15.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét  \( x>0 \). Giả sử  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \). Vì đồ thị đi qua các điểm  \( A\left( -\frac{5}{4};\frac{131}{64} \right),\text{ }B(0;4),\text{ }C(1;5) \) nên ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & -\frac{125}{64}a+\frac{25}{16}b-\frac{5}{4}c+d=\frac{131}{64} \\  & d=4 \\  & a+b+c+d=5 \\ \end{align} \right. \)    (1)

Ta có  \( {f}'(1)=3\Leftrightarrow 3a+2b+c=3 \)  (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=0 \\  & c=0 \\  & d=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f(x)={{x}^{3}}+4 \).

Điều kiện:  \( \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}>0\Rightarrow m>0 \).

 \( \ln \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}+x[f(x)-3mx]=3m{{x}^{3}}-f(x) \)

 \( \Leftrightarrow \ln f(x)-\ln (3m{{x}^{2}})+x\left[ f(x-3m{{x}^{2}}) \right]+f(x)-3m{{x}^{2}}=0 \)

Nếu  \( f(x)>m{{x}^{2}} \) thì  \( \log f(x)>\log (m{{x}^{2}}) \) và  \( xf(x)>x(m{{x}^{2}}),\forall x>0\Rightarrow (3) \) vô nghiệm.

Tương tự nếu  \( f(x)<m{{x}^{2}} \) thì phương trình (3) vô nghiệm.

Do đó  \( f(x)=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \), vì  \( x>0 \).

Xét hàm số  \( g(x)=\frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}} \) với  \( x>0 \).

 \( {g}'(x)=\frac{3{{x}^{4}}-24x}{9{{x}^{4}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\text{ }(\ell ) \\ & x=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình  \( \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \) có hai nghiệm dương phân biệt thì  \( m>1 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in [-10;10] \) nên  \( m\in \{2;3;…;10\} \).

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Số giá trị nguyên của m để phương trình f(1−xx+2)−2x+1x+2+m=0 có 4 nghiệm phân biệt

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và đồ thị của hàm số  \( y=f(1-x) \) như hình vẽ bên:

 

Số giá trị nguyên của m để phương trình  \( f\left( \frac{1-x}{x+2} \right)-\frac{2x+1}{x+2}+m=0 \) có 4 nghiệm phân biệt là:

A. 3.

B. 4.                                  

C. 2.                                  

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( \frac{1-x}{x+2}=1-t\Leftrightarrow t=1-\frac{1-x}{x+2}=\frac{2x+1}{x+2} \). Phương trình trở thành:

 \( f(1-t)-t+m=0\Leftrightarrow f(1-t)=t-m \)   (*).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \)  phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Điều này tương đương với đồ thị của hai hàm số  \( (C):y=f(1-x);\text{ }d:y=x-m \) cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

Chú ý đường thẳng  \( y=x-m \) qua hai điểm  \( (m;0);\text{ }(0;-m) \) và song song hoặc trùng với đường thẳng  \( y=x \).

Vẽ đường thẳng  \( d:y=x-m \) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị (C) như hình vẽ:

Từ đồ thị suy ra  \( d\cap (C) \) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi  \( -2<m<2\Rightarrow m\in \{-1;0;1\} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số y=f(x)=2022x−2022−x+x+sinx. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x+3)+f(x3−4x+m)=0 có ba nghiệm phân biệt

Cho hàm số  \( y=f(x)={{2022}^{x}}-{{2022}^{-x}}+x+\sin x \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  \( f(x+3)+f({{x}^{3}}-4x+m)=0 \) có ba nghiệm phân biệt?

A. 4.

B. 3.

C. 2.                                  

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét hàm số  \( y=f(x)={{2022}^{x}}-{{2022}^{-x}}+x+\sin x \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2022}^{x}}\ln 2022+{{2022}^{-x}}\ln 2022+1+\cos x>0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Suy ra  \( f(x) \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Ta có  \( f(-x)={{2022}^{-x}}-{{2022}^{x}}-x-\sin x=-({{2022}^{x}}-{{2022}^{-x}}+x+\sin x)=-f(x) \).

Xét phương trình  \( f(x+3)+f({{x}^{3}}-4x+m)=0\Leftrightarrow f({{x}^{3}}-4x+m)=-f(x+3)=f(-x-3) \).

Vì f(x) đồng biến nên \(f({{x}^{3}}-4x+m)=f(-x-3)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4x+m=-x-3\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+3=-m\) (1)

Yêu cầu bài toán phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số  \( f(x)={{x}^{3}}-3x+3 \), ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:  \( 1<-m<5\Leftrightarrow -5<m<-1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-4 \\  & m=-3 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right. \).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho các hàm số y=f(x);y=f(f(x)); y=f(x^2+2x−1) có đồ thị lần lượt là (C1);(C2);(C3). Đường thẳng x=2 cắt (C1);(C2);(C3) lần lượt tại A, B, C

Cho các hàm số \( y=f(x);y=f\left( f(x) \right) \);  \( y=f({{x}^{2}}+2x-1) \) có đồ thị lần lượt là  \( ({{C}_{1}});({{C}_{2}});({{C}_{3}}) \). Đường thẳng  \( x=2 \) cắt  \( ({{C}_{1}});({{C}_{2}});({{C}_{3}}) \) lần lượt tại A, B, C. Biết rằng phương trình tiếp tuyến của  \( ({{C}_{1}}) \) tại A và của  \( ({{C}_{2}}) \) tại B lần lượt là  \( y=2x+3 \) và  \( y=8x+5 \). Phương trình tiếp tuyến của  \( ({{C}_{3}}) \) tại C là:

A. \( y=8x-9 \).

B.  \( y=12x+3 \).            

C.  \( y=24x-27 \).           

D.  \( y=4x+1 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) tại điểm  \( x=2 \):

 \( y={f}'(2)(x-2)+f(2)={f}'(2)x-2{f}'(2)+f(2) \).

Thực hiện phép đồng nhất thức với phương trình tiếp tuyến  \( y=2x+3 \) ta được:

 \( \left\{ \begin{align}  & {f}'(2)=2 \\  & -2{f}'(2)+f(2)=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {f}'(2)=2 \\  & f(2)=7 \\ \end{align} \right. \).

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=f\left( f(x) \right) \) tại điểm  \( x=2 \):

 \( y={f}'(2).{f}’\left( f(2) \right).(x-2)+f\left( f(2) \right)=2{f}'(7).(x-2)+f(7)=2{f}'(7)x-4{f}'(7)+f(7) \).

Thực hiện phép đồng nhất thức với phương trình tiếp tuyến  \( y=8x+5 \) ta được:

 \( \left\{ \begin{align}  & 2{f}'(7)=8 \\  & -4{f}'(7)+f(7)=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {f}'(7)=4 \\  & f(7)=21 \\ \end{align} \right. \).

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=f({{x}^{2}}+2x-1) \) tại điểm  \( x=2 \) là:

 \( y=6{f}'(7).(x-2)+f(7)=24(x-2)+21=24x-27 \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6f(x^2−4x)=m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0;+∞)

Cho hàm số \( y=f(x) \) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  \( 6f({{x}^{2}}-4x)=m \) có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  \( (0;+\infty ) \)?

A.29.

B. 25.

C. 24.                               

D. 30.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( 6f({{x}^{2}}-4x)=m\Leftrightarrow f({{x}^{2}}-4x)=\frac{m}{6} \).

Đặt  \( u={{x}^{2}}-4x\Rightarrow {u}’=0\Leftrightarrow x=2 \).

Để phương trình  \( f({{x}^{2}}-4x)=\frac{m}{6} \) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc  \( (0;+\infty ) \):

 \( -3<\frac{m}{6}\le 2\Leftrightarrow -18<m\le 12 \).

Vậy có 30 giá trị nguyên của tham số m.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho f(x)=x^3−3x^2+1. Phương trình √f(f(x)+1)+1=f(x)+2 có số nghiệm thực là

Cho \( f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \). Phương trình  \( \sqrt{f\left( f(x)+1 \right)+1}=f(x)+2 \) có số nghiệm thực là:

A. 7.

B. 6.                                  

C. 4.                                  

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( t=f(x)+1\Rightarrow t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \)  (*)

Suy ra  \( {t}’=3{{x}^{2}}-6x \). Khi đó  \( {t}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Ta có, bảng biến thiên:

Khi đó  \( \sqrt{f\left( f(x)+1 \right)+1}=f(x)+2 \) trở thành:

 \( \sqrt{f(t)+1}=t+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t\ge -1 \\  & f(t)+1={{t}^{2}}+2t+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t\ge -1 \\  & {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-2t+1=0 \\ \end{align} \right. \).

Từ bảng biến thiên ta có:

+ Với  \( t=a\in (-1;0) \), phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Với  \( t=b\in (0;1) \), phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm trên.

+ Với  \( t=c\in (4;5) \), phương trình (*) có 1 nghiệm khác 6 nghiệm trên.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(ef(x)+f(x))=1 là

Hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \( f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1 \) là:

A. 2.

B. 4.

C. 6.                                  

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ta có  \( f(x)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=f(x) \), khi đó ta có phương trình  \( f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1 \) (*) trở thành  \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \) \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \).

Xét hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) nên ta có phương trình  \( {{e}^{t}}+t=1 \) có nghiệm duy nhất  \( t=0 \).

Xét phương trình  \( {{e}^{t}}+t=-1 \), dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) và đường thẳng  \( y=-1 \) ta có phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=a\in (-2;-1) \).

Dựa vào sự tương giao của đồ thị ta có:

+ Với  \( t=0\Rightarrow f(x)=0 \) nên phương trình có 2 nghiệm thì phương trình (*) có 4 nghiệm.

+ Với  \( t=a\in (-2;-1)\Rightarrow f(x)=a\in (-2;-1) \) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình m+3m+3logx-√3√3=logx có 3 nghiệm phân biệt

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \( \sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\log x}}=\log x \) có 3 nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 3.                                  

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( x>0 \).

Đặt  \( t=\sqrt[3]{m+3\log x}\Rightarrow {{t}^{3}}=m+3\log x\Rightarrow m={{t}^{3}}-3\log x \).

Phương trình đã cho trở thành:  \( \sqrt[3]{{{t}^{3}}-3\log x+3t}=\log x \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{3}}-3\log x+3t={{\log }^{3}}x\Leftrightarrow {{t}^{3}}+3t={{\log }^{3}}x+3\log x \)  (1).

Xét hàm số  \( f(u)={{u}^{3}}+3u \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \).

 \( \Rightarrow {f}'(u)=3{{u}^{2}}+3>0,\forall u\in \mathbb{R} \).

 \( \Rightarrow  \) Hàm số  \( y=f(u) \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)   (2).

Khi đó, phương trình (1) trở thành:  \( f(t)=f(\log x) \)   (3).

Từ (2) và (3)  \( \Leftrightarrow t=\log x\Leftrightarrow \sqrt[3]{m+3\log x}=\log x\Leftrightarrow m={{\log }^{3}}x-3\log x \)   (4).

Đặt  \( v=\log x \).

Ta có bảng biến thiên:

Ta thấy: ứng với một nghiệm \( v\in \mathbb{R} \) sẽ cho ra một nghiệm  \( x\in (0;+\infty ) \).

Phương trình (4) trở thành:  \( m={{v}^{3}}-3v \).

Đặt  \( g(v)={{v}^{3}}-3v\Rightarrow {g}'(v)=3{{v}^{2}}-3=0\Leftrightarrow v=\pm 1 \).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m=g(x) \) có ba nghiệm  phân biệt  \( \Leftrightarrow -2<m<2 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \{-1;0;1\} \).

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình f(∣x^2−4x∣−3)=a có không ít hơn 10 nghiệm thực phân biệt

Cho hàm số đa thức bậc bốn \( y=f(x) \) có đồ thị như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình  \( f\left( \left| {{x}^{2}}-4x \right|-3 \right)=a \) có không ít hơn 10 nghiệm thực phân biệt?

A. 4.

B. 6.                                  

C. 2.                                  

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( t=\left| {{x}^{2}}-4x \right|-3 \).

Ta có:  \( {t}'(x)=\frac{{{x}^{2}}-4x}{\left| {{x}^{2}}-4x \right|}.(2x-4); \) \( {t}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x=0 \\  & 2x-4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=4 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Nhận thấy:

+ Với  \( t<-3 \) thì vô nghiệm x.

+ Với  \( t=-3 \) thì có 2 nghiệm x.

+ Với  \( t\in (-3;1) \) thì có 4 nghiệm x.

+ Với  \( t=1 \) thì có 3 nghiệm x.

+ Với  \( t>1 \) có 2 nghiệm x.

Khi đó ta có phương trình  \( f(t)=a \)  (1). Từ đồ thị hàm số f(x) ta có:

+ Nếu  \( a<-2 \) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( t>1 \) hoặc vô nghiệm  \( \Rightarrow \)  Phương trình đã cho có số nghiệm không lớn hơn 4.

+ Nếu  \( a=-2 \) thì (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm  \( t\in (-3;0) \) và 2 nghiệm  \( t>1\Rightarrow \) Phương trình đã cho có 8 nghiệm.

+ Nếu  \( a\in (-2;0) \) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm  \( t\in (-3;1) \) và 1 nghiệm  \( t>1 \) và nghiệm  \( t=1;t=-3\Rightarrow  \)Phương trình đã cho có 11 nghiệm phân biệt.

+ Nếu  \( a\in (0;2] \) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm  \( t\in (-3;1) \) và 1 nghiệm  \( t<-3 \) và 1 nghiệm  \( t>1\Rightarrow  \) Phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.

+ Nếu  \( \left\{ \begin{align}  & a>2 \\  & a\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm  \( t<-3 \) và 1 nghiệm  \( t>1\Rightarrow \)  Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với  \( -2<a\le 2 \) thì phương trình đã cho có không ít hơn 10 nghiệm phân biệt, do đó có 4 số nguyên a cần tìm.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số y=x^4−(3m+2)x^2+3m có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=−1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m  \) có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

A. \( -\frac{1}{3}<m<1 \) và \( m\ne 0 \)                

B.  \( -\frac{1}{2}<m<1 \) và m\ne 0           

C.  \( -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)                           

D.  \( -\frac{1}{3}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d là  \( {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m=-1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m+1=0 \)

Đặt  \( t={{x}^{2}},\text{ }t\ge 0 \).

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-\left( 3m+2 \right)t+3m+1=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1 \\  & t=3m+1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}<4 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3m+1\ne 1 \\  & 0<3m+1<4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & -\frac{1}{3}<m<1 \\ \end{align} \right. \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=(m+1)x^4−2(2m−3)x^2+6m+5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=\left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5 \) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \) thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \).

A. \(m\in \left( -1;-\frac{5}{6} \right)\)

B. \(m\in \left( -3;-1 \right)\)

C. \(m\in \left( -3;1 \right)\)  

D. \(m\in \left( -4;-1 \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

 \( \left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5=0 \)  (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \) phương trình trở thành:  \( \left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5=0 \)  (2)

Cách 1:

 \( g(t)=\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5 \)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay  \( \left\{ \begin{align}  & m+1\ne 0 \\  & {\Delta }’>0 \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\  & \frac{6m+5}{m+1}>0 \\  & \frac{2m-3}{m+1}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & \frac{-23-\sqrt{561}}{4}<m<\frac{-23+\sqrt{561}}{4} \\  & m<-1\vee m>-\frac{5}{6} \\  & m<-1\vee m>\frac{3}{2} \\ \end{align} \right. \)   (*)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}-1<0 \\  & {{t}_{2}}-1>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0 \) \( \Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{6m+5}{m+1}-\frac{2\left( 2m-3 \right)}{m+1}+1<0 \) \( \Leftrightarrow \frac{3m+12}{m+1}<0\Leftrightarrow -4<m<-1 \)

Kết hợp với (*) ta có:  \( m\in \left( -4;-1 \right) \) thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

Phương trình (2)  \( \Leftrightarrow m=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) (biểu thức  \( v \))

Xét hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) với  \( t\in \left( 0;+\infty  \right) \).

Ta có f(t) liên tục trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và có  \( {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}} \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{1-\sqrt{561}}{10}<0 \\  & t=\frac{1+\sqrt{561}}{10}>1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) tại hai giao điểm có hoành độ thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \) khi  \( -4<m<-1 \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các giá trị thực của tham số m, để đồ thị hàm số y=x^4−2(2−m)x^2+m^2−2m−2 không cắt trục hoành

Tất cả các giá trị thực của tham số m, để đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2 \) không cắt trục hoành.

A. \( m\ge \sqrt{3}+1 \)

B.  \( m<3 \)                     

C.  \( m>\sqrt{3}+1 \)     

D.  \( m>3 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)     (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \). Phương trình (1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2\left( 2-m \right)t+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)    (2)

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành  \( \Leftrightarrow (1) \) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow (2) \) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

Hay \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {\Delta }’=-2m+6<0 \\ & \left\{\begin{matrix} {\Delta }’=-2m+6\ge 0 \\  2-m<0 \\  {{m}^{2}}-2m-2>0 \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>3 \\ & \left\{\begin{matrix} m\le 3 \\  m>2 \\  m>1+\sqrt{3} \vee m<1-\sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>3 \\  & 1+\sqrt{3}<m\le 3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>1+\sqrt{3} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đường thẳng y=m^2 cắt đồ thị hàm số y=x^4−x^2−10 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ)

Đường thẳng \( y={{m}^{2}} \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10 \) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \( {{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right) \)

B.  \( {{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right) \)

C.  \( {{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right) \)       

D.  \( {{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x=2x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng  \( y={{m}^{2}}\ge 0 \) luôn phía trên trục hoành nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi \( A\left( \sqrt{a};{{m}^{2}} \right)\) và  \( B\left( -\sqrt{a};{{m}^{2}} \right) \) là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a > 0.

Ta có:

+  \( A\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a-10={{m}^{2}} \) (1)

+ Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{m}^{4}}=a  \) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{m}^{8}}-{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-10=0\Leftrightarrow {{t}^{4}}-{{t}^{2}}-t-10=0 \) với  \( t={{m}^{2}}>0 \).

 \( \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+3t+5 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\in \left( 1;3 \right) \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=x^4+2mx^2+m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=−3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1

Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m  \) (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng (a;b) (với  \( a,b\in \mathbb{Q} \); a, b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

A. \( -63 \)

B. 63             

C. 95                  

D.  \( -95 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m=-3 \). Đặt  \( {{x}^{2}}=t,t\ge 0 \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}+2mt+m+3=0 \) (1) và đặt  \( f(t)={{t}^{2}}+2mt+m+3 \).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) và khi đó hoành độ bốn giao điểm là  \( -\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}} \).

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & \sqrt{{{t}_{1}}}<1 \\  &\sqrt{{{t}_{2}}}>2 \\ \end{align} \right. \) hay  \( 0<{{t}_{1}}<1<4<{{t}_{2}} \).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( \left\{ \begin{align}  & f(0)>0 \\  & f(1)<0 \\  & f(4)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m+3>0 \\  & 3m+4<0 \\  & 9m+19<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -3<m<-\frac{19}{9} \)

Vậy  \( \left\{ \begin{align}  & a=-3 \\  & b=-\frac{19}{9} \\ \end{align} \right. \) nên  \( 15ab=95 \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y=x^4−4x^3+(m−2)x^2+8x+4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

A. 8

B. 7                                   

C. 5                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4=0 \)

Đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1  \( \Leftrightarrow  \) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

 \( \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8x+4=\left( 2-m \right){{x}^{2}} \) \( \Leftrightarrow 2-m={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1) với đường thẳng  \( y=2-m  \) song song với trục hoành.

Xét hàm số  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1)

 \( {y}’=2x-4-\frac{8}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{3}}}=\frac{2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8x-8}{{{x