Cho hàm số y=x^4−(3m+2)x^2+3m có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng d:y=−1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m  \) có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

A. \( -\frac{1}{3}<m<1 \) và \( m\ne 0 \)                

B.  \( -\frac{1}{2}<m<1 \) và m\ne 0           

C.  \( -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)                           

D.  \( -\frac{1}{3}<m<\frac{1}{2} \) và  \( m\ne 0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d là  \( {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m=-1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-\left( 3m+2 \right){{x}^{2}}+3m+1=0 \)

Đặt  \( t={{x}^{2}},\text{ }t\ge 0 \).

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-\left( 3m+2 \right)t+3m+1=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1 \\  & t=3m+1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( d:y=-1 \) cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}<4 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3m+1\ne 1 \\  & 0<3m+1<4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & -\frac{1}{3}<m<1 \\ \end{align} \right. \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=(m+1)x^4−2(2m−3)x^2+6m+5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=\left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5 \) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \) thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \).

A. \(m\in \left( -1;-\frac{5}{6} \right)\)

B. \(m\in \left( -3;-1 \right)\)

C. \(m\in \left( -3;1 \right)\)  

D. \(m\in \left( -4;-1 \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

 \( \left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5=0 \)  (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \) phương trình trở thành:  \( \left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5=0 \)  (2)

Cách 1:

 \( g(t)=\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5 \)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay  \( \left\{ \begin{align}  & m+1\ne 0 \\  & {\Delta }’>0 \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\  & \frac{6m+5}{m+1}>0 \\  & \frac{2m-3}{m+1}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & \frac{-23-\sqrt{561}}{4}<m<\frac{-23+\sqrt{561}}{4} \\  & m<-1\vee m>-\frac{5}{6} \\  & m<-1\vee m>\frac{3}{2} \\ \end{align} \right. \)   (*)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}-1<0 \\  & {{t}_{2}}-1>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0 \) \( \Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{6m+5}{m+1}-\frac{2\left( 2m-3 \right)}{m+1}+1<0 \) \( \Leftrightarrow \frac{3m+12}{m+1}<0\Leftrightarrow -4<m<-1 \)

Kết hợp với (*) ta có:  \( m\in \left( -4;-1 \right) \) thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

Phương trình (2)  \( \Leftrightarrow m=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) (biểu thức  \( v \))

Xét hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) với  \( t\in \left( 0;+\infty  \right) \).

Ta có f(t) liên tục trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và có  \( {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}} \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{1-\sqrt{561}}{10}<0 \\  & t=\frac{1+\sqrt{561}}{10}>1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) tại hai giao điểm có hoành độ thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \) khi  \( -4<m<-1 \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các giá trị thực của tham số m, để đồ thị hàm số y=x^4−2(2−m)x^2+m^2−2m−2 không cắt trục hoành

Tất cả các giá trị thực của tham số m, để đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2 \) không cắt trục hoành.

A. \( m\ge \sqrt{3}+1 \)

B.  \( m<3 \)                     

C.  \( m>\sqrt{3}+1 \)     

D.  \( m>3 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)     (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \). Phương trình (1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2\left( 2-m \right)t+{{m}^{2}}-2m-2=0 \)    (2)

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành  \( \Leftrightarrow (1) \) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow (2) \) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

Hay \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {\Delta }’=-2m+6<0 \\ & \left\{\begin{matrix} {\Delta }’=-2m+6\ge 0 \\  2-m<0 \\  {{m}^{2}}-2m-2>0 \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>3 \\ & \left\{\begin{matrix} m\le 3 \\  m>2 \\  m>1+\sqrt{3} \vee m<1-\sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>3 \\  & 1+\sqrt{3}<m\le 3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>1+\sqrt{3} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đường thẳng y=m^2 cắt đồ thị hàm số y=x^4−x^2−10 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ)

Đường thẳng \( y={{m}^{2}} \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10 \) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \( {{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right) \)

B.  \( {{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right) \)

C.  \( {{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right) \)       

D.  \( {{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x=2x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng  \( y={{m}^{2}}\ge 0 \) luôn phía trên trục hoành nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi \( A\left( \sqrt{a};{{m}^{2}} \right)\) và  \( B\left( -\sqrt{a};{{m}^{2}} \right) \) là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a > 0.

Ta có:

+  \( A\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a-10={{m}^{2}} \) (1)

+ Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{m}^{4}}=a  \) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{m}^{8}}-{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-10=0\Leftrightarrow {{t}^{4}}-{{t}^{2}}-t-10=0 \) với  \( t={{m}^{2}}>0 \).

 \( \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+3t+5 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\in \left( 1;3 \right) \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=x^4+2mx^2+m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=−3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1

Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m  \) (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng (a;b) (với  \( a,b\in \mathbb{Q} \); a, b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

A. \( -63 \)

B. 63             

C. 95                  

D.  \( -95 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \( {{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m=-3 \). Đặt  \( {{x}^{2}}=t,t\ge 0 \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}+2mt+m+3=0 \) (1) và đặt  \( f(t)={{t}^{2}}+2mt+m+3 \).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  \( y=-3 \) tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn  \( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) và khi đó hoành độ bốn giao điểm là  \( -\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}} \).

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & \sqrt{{{t}_{1}}}<1 \\  &\sqrt{{{t}_{2}}}>2 \\ \end{align} \right. \) hay  \( 0<{{t}_{1}}<1<4<{{t}_{2}} \).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( \left\{ \begin{align}  & f(0)>0 \\  & f(1)<0 \\  & f(4)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m+3>0 \\  & 3m+4<0 \\  & 9m+19<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -3<m<-\frac{19}{9} \)

Vậy  \( \left\{ \begin{align}  & a=-3 \\  & b=-\frac{19}{9} \\ \end{align} \right. \) nên  \( 15ab=95 \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y=x^4−4x^3+(m−2)x^2+8x+4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

A. 8

B. 7                                   

C. 5                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4=0 \)

Đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+8x+4 \) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1  \( \Leftrightarrow  \) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

 \( \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8x+4=\left( 2-m \right){{x}^{2}} \) \( \Leftrightarrow 2-m={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1) với đường thẳng  \( y=2-m  \) song song với trục hoành.

Xét hàm số  \( y={{x}^{2}}-4x+\frac{8}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}} \) (x > 1)

 \( {y}’=2x-4-\frac{8}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{3}}}=\frac{2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8x-8}{{{x}^{2}}} \).

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1-\sqrt{3}\text{ }(l) \\  & x=1+\sqrt{3}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 0<2-m<9\Leftrightarrow -7<m<2 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -6;-5;….,1 \right\} \)

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y=x^4−2x^2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0,1,m,n. Tính S=m^2+n^2

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là  \( 0,1,m,n  \). Tính  \( S={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \).

A. S = 1

B. S = 0

C. S = 3                           

D. S = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Tọa độ các giao điểm lần lượt là A(0;0),  \( B\left( 1;-1 \right) \),  \( C\left( m;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right) \),  \( D\left( n;{{n}^{4}}-2{{n}^{2}} \right) \).

Đường thẳng qua các điểm A, B, C, D có phương trình:  \( y=-x  \).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=-x\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & {{x}^{2}}+x-1=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Vậy m, n là các nghiệm của phương trình (*).

Khi đó:  \( S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( m+n \right)}^{2}}-2mn=3 \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=x^4−3x^2−2. Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ

Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2 \). Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

A. m = 2

B.  \( m=\frac{3}{2} \)    

C. m = 3                          

D. m = 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:  \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=m\) \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2-m=0 \)  (1)

Vì  \( m>0\Leftrightarrow -2-m<0 \) hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

 \( {{x}^{2}}=\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2} \) \( \Rightarrow {{x}_{1}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \) và  \( {{x}_{2}}=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \).

Khi đó: \(A\left( {{x}_{1}};m \right)\), \(B\left( {{x}_{2}};m \right)\).

Ta có tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{m}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}={{m}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{m}^{2}}-3\ge 0 \\  & 4{{m}^{4}}-12{{m}^{2}}-4m-8=0 \\ \end{align} \right. \) \( \underset{2{{m}^{2}}-3\ge 0}{\overset{m>0}{\longleftrightarrow}}m=2 \)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^4−2mx^2+(2m−1)=0 có 4 nghiệm thực phân biệt

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+(2m-1)=0 \) có 4 nghiệm thực phân biệt là

A. \( \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \)                    

B.  \( \left( 1;+\infty  \right) \)  

C.  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)                   

D.  \( \mathbb{R} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình:  \( {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+(2m-1)=0 \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\text{ }\left( t\ge 0 \right) \).

Phương trình đã cho trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt+(2m-1)=0 \) (*)

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\  & S>0 \\  & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-2m+1>0 \\  & 2m>0 \\  & 2m-1>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \forall m\ne 1 \\  & m>0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\frac{1}{2} \\  & m\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

Hay  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho đồ thị hàm số y=(2x+1)/(x+1). Tìm k để đường thẳng d:y=kx+2k+1 cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành.

Cho đồ thị hàm số \( y=\frac{2x+1}{x+1} \). Tìm k để đường thẳng  \( d:y=kx+2k+1 \) cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành.

A. 1

B. \( \frac{2}{5} \)           

C.  \( -3 \)                          

D.  \( -2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x+1}=kx+2k+1 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne -1 \\  & k{{x}^{2}}+\left( 3k-1 \right)x+2k=0\text{  }(1) \\ \end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán tương dương có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho  \( \left| k{{x}_{1}}+2k+1 \right|=\left| k{{x}_{2}}+2k+1 \right| \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & \Delta ={{k}^{2}}-6k+1>0 \\  & k\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4k+2=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{k}^{2}}-6k+1>0 \\  & 1-3k+4k+2=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow k=-3 \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x−1)/(x+1) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN≤10

Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho  \( MN\le 10 \).

A. 2

B. 3

C. 1                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số:  \( x\ne -1 \)

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{x+1}=x+m  \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m-3>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<3-2\sqrt{3} \\ & m>3+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) (*)

Gọi  \( M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \),  \( N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \) là tọa độ giao điểm đường thẳng  \( y=x+m  \) và đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \).

Theo bài cho  \( MN\le 10\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\le 10 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50 \)

Áp dụng định lí Viet cho phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có: \(MN\le 10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-53\le 0\Leftrightarrow 3-\sqrt{62}\le m\le 3+\sqrt{62}\)

Kết hợp với (*) thì  \( m\in \left( 3-\sqrt{62};3-2\sqrt{3} \right)\cup \left( 3+2\sqrt{3};3+\sqrt{62} \right) \)

Mà  \( m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\xrightarrow{{}}m\in \left\{ 7;8;9;10 \right\} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=2x/(x−1) có đồ thị là (C). Tìm tập hợp tất cả các giá trị a∈R để qua điểm M(0;a) có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M

Cho hàm số \( y=\frac{2x}{x-1} \) có đồ thị là (C). Tìm tập hợp tất cả các giá trị  \( a\in \mathbb{R} \) để qua điểm  \( M\left( 0;a \right) \) có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M.

A. \( \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right) \)                                    

B.  \( \left( 3;+\infty  \right) \)  

C.  \( \left( -\infty ;0 \right) \)                                     

D.  \( \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 3;+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M(0;a) có dạng  \( y=kx+a  \).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng  \( y=kx+a  \) là:

 \( \frac{2x}{x-1}=kx+a\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & 2x=k{{x}^{2}}-kx+ax-a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & k{{x}^{2}}+\left( a-k-2 \right)x-a=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Ta cần tìm điều kiện của a để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 và thỏa mãn  \( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \)

Điều kiện này tương đương với  \( \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & k{{.1}^{2}}+\left( a-k-2 \right).1-a\ne 0 \\  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & -2\ne 0 \\  & \frac{k+2-a}{k}=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & k\ne 0 \\ & k=a-2 \\ & 4\left( a-2 \right)a>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-2\ne 0 \\  & k=a-2 \\ & a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(3x+2)/(x+2) (C) và đường thẳng d:y=ax+2b−4. Đường thẳng d cắt (C) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T=a+b bằng

Cho hàm số \( y=\frac{3x+2}{x+2} \) (C) và đường thẳng  \( d:y=ax+2b-4 \). Đường thẳng d cắt (C) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó  \( T=a+b  \) bằng

A. T = 2

B. \( T=\frac{5}{2} \)     

C. T = 4                           

D.  \( T=\frac{7}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét phương trình hoành độ:  \( \frac{3x+2}{x+2}=ax+2b-4,\text{ }x\ne -2 \)

 \( \Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( 2a+2b-7 \right)x-10=0 \) (*)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & {{\left( 2a+2b-7 \right)}^{2}}-4a\left( 4b-10 \right)>0 \\  & 4\ne 0 \\ \end{align} \right. \) (**)

Gọi  \( A\left( {{x}_{1}};a{{x}_{1}}+2b-4 \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};a{{x}_{2}}+2b-4 \right) \).

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & 4b-8=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \)

Theo Viet của phương trình (*), ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{7-2a-2b}{a}\Rightarrow \frac{7-2a-2b}{a}=0 \)

 \( \Leftrightarrow 7-2a-2b=0\Rightarrow a=\frac{3}{2} \)

Thay  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{3}{2} \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \) vào điều kiện (**) thấy thỏa mãn.

Vậy  \( a+b=\frac{7}{2} \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

đường thẳng d:y=−3x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x+1)/(x−1) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng Δ:x−2y−2=0, với O là gốc tọa độ

Giả sử \( m=-\frac{b}{a},\text{ }a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\text{ }\left( a,b \right)=1 \) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng  \( d:y=-3x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x+1}{x-1} \) (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng  \( \Delta :x-2y-2=0 \), với O là gốc tọa độ. Tính  \( a+2b  \).

A. 2

B. 5

C. 11                                

D. 21

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x+1}{x-1}=-3x+m,\text{ }x\ne 1 \)

 \( \Rightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m+1=0 \) (*)

Để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-12\left( m+1 \right)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-\left( m+1 \right).1+\left( m+1 \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & m+1<0 \\  & m+1>12 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) đồng thời thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi G là trọng tâm của  \( \Delta OAB  \), ta có:  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \)

Mà  \( G\in \Delta  \) nên  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5} \).

Suy ra  \( \left\{ \begin{align}  & a=11 \\  & b=5 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( a+2b=21 \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!