Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y=−3x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x+1)/(x−1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB (O là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng x−2y−2=0

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( -3x+m=\frac{2x+1}{x-1} \)   (*)

Với điều kiện  \( x\ne 1 \),  \( (*)\Rightarrow 3{{x}^{2}}-(m+1)x+m+1=0 \) (1)

Đường thẳng \(y=-3x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, điều kiện:

 \( \left\{ \begin{align}  & {{(m+1)}^{2}}-12(m+1)>0 \\  & {{3.1}^{2}}-(m+1).1+m+1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-10m-11>0 \\  & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>11 \\ \end{align} \right. \)  (**)

Không mất tính tổng quát, giả sử  \( A\left( {{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};-3{{x}_{2}}+m \right) \) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình (1).

Theo viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3} \).

Gọi M là trung điểm AB, ta có:  \( M\left( \frac{m+1}{6};\frac{m-1}{2} \right) \).

Giả sử G(x;y) là trọng tâm tam giác OAB, ta có:

\(\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{3}.\frac{m+1}{6} \\  & y=\frac{2}{3}.\frac{m-1}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{m+1}{9} \\  & y=\frac{m-1}{3} \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right) \).

Mặt khác, điểm G thuộc đường thẳng  \( x-2y-2=0 \) nên ta có:  \( \frac{m+1}{9}-2.\frac{m-1}{3}-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow m=-\frac{11}{5} \) (thỏa mãn (**))

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.