Đường thẳng d có phương trình y=x+4 cắt đồ thị hàm số y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4 tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M(1;3)

Đường thẳng d có phương trình \( y=x+4 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M(1;3). Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. m = 3

B. m = 2 hoặc m = 3       

C.  \( m=-2 \) hoặc  \( m=-3 \)             

D.  \( m=-2 \) hoặc m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & {{x}^{2}}+2mx+m-2=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-m-2>0 \\  & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2 \end{cases} \) (**)

Giả sử  \( B\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+4 \right) \),  \( C\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+4 \right) \) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) khi đó

 \( BC=\sqrt{2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}} \) \( =\sqrt{2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16} \)

\({{S}_{\Delta MBC}}=\frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( M,(d) \right)}}=\frac{1}{2}.BC.\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=4\)

\(\Rightarrow BC=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{8{{m}^{2}}-8m-16}=4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-2 \\  & m=3 \\ \end{align} \right.\)

 So sánh điều kiện (**) ta có: m = 3.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *