Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y=f′(x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị H=f(4)−f(2)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo bài ra:  \( y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a,b,c,d\in \mathbb{R},\text{ }a\ne 0) \) do đó  \( y={f}'(x) \) là hàm bậc hai có dạng  \( y={f}'(x)={a}'{{x}^{2}}+{b}’x+{c}’ \).

Dựa vào đồ thị ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {c}’=1 \\  & {a}’-{b}’+{c}’=4 \\  & {a}’+{b}’+{c}’=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {a}’=3 \\  & {b}’=0 \\  & {c}’=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow y={f}'(x)=3{{x}^{2}}+1 \)

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  \( y={f}'(x) \), trục Ox, x = 4, x = 2.

Ta có: \(S=\int\limits_{2}^{4}{(3{{x}^{2}}+1)dx}=58\)

Lại có:  \( S=\int\limits_{2}^{4}{{f}'(x)dx}=\left. f(x) \right|_{2}^{4}=f(4)-f(2) \)

Do đó:  \( H=f(4)-f(2)=58 \).