Tìm m để hàm số sau xác định trên R: y=√(4x−(m+1).2x−m)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hàm số  \( y=\sqrt{{{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x}}-m} \) xác định trên  \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi  \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x}}-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Đặt  \( t={{2}^{x}}\text{ }\left( t>0 \right) \).

Khi đó:  \( {{t}^{2}}-(m+1)t-m\ge 0,\forall t>0 \) \( \Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\ge m,\forall t>0 \)

Xét hàm số:  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-t}{t+1},t>0 \)

Ta có:  \( {f}'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t-t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \),  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0 \) \( \Rightarrow t=-1+\sqrt{2}\text{ }\left( do\text{ }t>0 \right) \)

Lập bảng biến thiên ta tìm được: \( \displaystyle \min_{(0;+\infty)}f(t)=f\left( -1+\sqrt{2} \right)=-3+2\sqrt{2} \)

Để bất phương trình  \( \Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\ge m,\forall t>0 \) \( \Leftrightarrow m\le -3+2\sqrt{2} \)