Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số \( y=-2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2 \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình
\( -2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2=0 \)
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3.
Khi đó, ta có:
\( y=-2\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right) \) \( =-2{{x}^{3}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \)
Đồng nhất thức ta được:
\(\left\{ \begin{align}& 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-3{{m}^{2}} \\ & -2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)={{m}^{3}}+2m \\ & 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=2 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{-3{{m}^{2}}}{2}\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix}(1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\frac{{{m}^{3}}+2m}{2}\begin{matrix} {} & {} \\\end{matrix}(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=1\begin{matrix} {} & {} \\\end{matrix}(3) \\ \end{align} \right.\)
Vì x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân nên \( {{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2} \) (4)
Từ (2) và (3): \( {{x}_{2}}=1 \). Thay vào phương trình (*) rút ra được \( \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=1 \\ & m=2 \\ \end{align} \right. \).
Với m = 0 \( \Rightarrow\) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}+2=0\Leftrightarrow x=1 \) (không thỏa mãn)
Với m = 1 \( \Rightarrow \) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2 \\ & {{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{3}}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)
Với m = 2 \( \Rightarrow \)phương trình (*): \( {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-6x-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\ & {{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!