Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y=−2x^3−3m^2x^2+(m^3+2m)x+2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số \( y=-2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2 \) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình

 \( -2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2=0 \)

Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3.

Khi đó, ta có:

 \( y=-2\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right) \) \( =-2{{x}^{3}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \)

Đồng nhất thức ta được:

\(\left\{ \begin{align}& 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-3{{m}^{2}} \\ & -2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)={{m}^{3}}+2m \\  & 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=2 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{-3{{m}^{2}}}{2}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\frac{{{m}^{3}}+2m}{2}\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=1\begin{matrix}  {} & {}  \\\end{matrix}(3) \\ \end{align} \right.\)

Vì x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân nên  \( {{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2} \) (4)

Từ (2) và (3):  \( {{x}_{2}}=1 \). Thay vào phương trình (*) rút ra được  \( \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=1 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \).

Với m = 0  \( \Rightarrow\) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}+2=0\Leftrightarrow x=1 \) (không thỏa mãn)

Với m = 1  \( \Rightarrow  \) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2 \\  & {{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{3}}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Với m = 2  \( \Rightarrow  \)phương trình (*): \( {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-6x-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\  & {{x}_{2}}=1 \\  & {{x}_{1}}=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *