Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y=−2x^3−3m^2x^2+(m^3+2m)x+2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình

 \( -2{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( {{m}^{3}}+2m \right)x+2=0 \)

Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, x3.

Khi đó, ta có:

 \( y=-2\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right) \) \( =-2{{x}^{3}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \)

Đồng nhất thức ta được:

\(\left\{ \begin{align}& 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-3{{m}^{2}} \\ & -2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)={{m}^{3}}+2m \\  & 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=2 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{-3{{m}^{2}}}{2}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\frac{{{m}^{3}}+2m}{2}\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=1\begin{matrix}  {} & {}  \\\end{matrix}(3) \\ \end{align} \right.\)

Vì x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân nên  \( {{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2} \) (4)

Từ (2) và (3):  \( {{x}_{2}}=1 \). Thay vào phương trình (*) rút ra được  \( \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=1 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \).

Với m = 0  \( \Rightarrow\) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}+2=0\Leftrightarrow x=1 \) (không thỏa mãn)

Với m = 1  \( \Rightarrow  \) phương trình (*): \( -2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2 \\  & {{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{3}}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Với m = 2  \( \Rightarrow  \)phương trình (*): \( {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-6x-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\  & {{x}_{2}}=1 \\  & {{x}_{1}}=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.