Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc 60∘

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc \( 60{}^\circ \) . Biết  rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là  \( 1000\pi \,\,c{{m}^{3}} \). Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

A. \( \frac{1}{64} \).

B.  \( \frac{1}{8} \).                   

C.  \( \frac{1}{27} \).       

D.  \( \frac{1}{3\sqrt{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi  \( {{r}_{1}},\,\,{{h}_{1}},\,\,{{r}_{2}},\,\,{{h}_{2}} \) lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.

Do đường sinh bất kì của hình nón tạo với đáy một góc  \( 60{}^\circ \) .

Suy ra:  \( \widehat{OAI’}=\widehat{OBI}=60{}^\circ \) , khi đó ta có mối liên hệ:  \( {{h}_{1}}=\sqrt{3}{{r}_{1}},\,\,{{h}_{2}}=\sqrt{3}{{r}_{2}} \).

Theo đề ta có:  \( V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( {{h}_{1}}r_{1}^{2}+{{h}_{2}}r_{2}^{2} \right)=\frac{1}{9}\pi \left( h_{1}^{3}+h_{2}^{3} \right)=1000\pi \) .

Mà  \( h_{1}^{3}+h_{2}^{3}={{({{h}_{1}}+{{h}_{2}})}^{3}}-3({{h}_{1}}+{{h}_{2}}).{{h}_{1}}{{h}_{2}}\Rightarrow {{h}_{1}}{{h}_{2}}=200 \).

Kết hợp giả thiết:  \( {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=30 \) ta được:  \( \left\{ \begin{align}  & {{h}_{1}}=10 \\  & {{h}_{2}}=20 \\ \end{align} \right. \).

Tử đó tỉ lệ cần tìm là  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{1}}}{{{\left( 20\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *