Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc 60∘

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi  \( {{r}_{1}},\,\,{{h}_{1}},\,\,{{r}_{2}},\,\,{{h}_{2}} \) lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.

Do đường sinh bất kì của hình nón tạo với đáy một góc  \( 60{}^\circ \) .

Suy ra:  \( \widehat{OAI’}=\widehat{OBI}=60{}^\circ \) , khi đó ta có mối liên hệ:  \( {{h}_{1}}=\sqrt{3}{{r}_{1}},\,\,{{h}_{2}}=\sqrt{3}{{r}_{2}} \).

Theo đề ta có:  \( V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( {{h}_{1}}r_{1}^{2}+{{h}_{2}}r_{2}^{2} \right)=\frac{1}{9}\pi \left( h_{1}^{3}+h_{2}^{3} \right)=1000\pi \) .

Mà  \( h_{1}^{3}+h_{2}^{3}={{({{h}_{1}}+{{h}_{2}})}^{3}}-3({{h}_{1}}+{{h}_{2}}).{{h}_{1}}{{h}_{2}}\Rightarrow {{h}_{1}}{{h}_{2}}=200 \).

Kết hợp giả thiết:  \( {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=30 \) ta được:  \( \left\{ \begin{align}  & {{h}_{1}}=10 \\  & {{h}_{2}}=20 \\ \end{align} \right. \).

Tử đó tỉ lệ cần tìm là  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{1}}}{{{\left( 20\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \).