Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc \( 60{}^\circ \) . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là \( 1000\pi \,\,c{{m}^{3}} \). Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?
A. \( \frac{1}{64} \).
B. \( \frac{1}{8} \).
C. \( \frac{1}{27} \).
D. \( \frac{1}{3\sqrt{3}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi \( {{r}_{1}},\,\,{{h}_{1}},\,\,{{r}_{2}},\,\,{{h}_{2}} \) lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.
Do đường sinh bất kì của hình nón tạo với đáy một góc \( 60{}^\circ \) .
Suy ra: \( \widehat{OAI’}=\widehat{OBI}=60{}^\circ \) , khi đó ta có mối liên hệ: \( {{h}_{1}}=\sqrt{3}{{r}_{1}},\,\,{{h}_{2}}=\sqrt{3}{{r}_{2}} \).
Theo đề ta có: \( V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( {{h}_{1}}r_{1}^{2}+{{h}_{2}}r_{2}^{2} \right)=\frac{1}{9}\pi \left( h_{1}^{3}+h_{2}^{3} \right)=1000\pi \) .
Mà \( h_{1}^{3}+h_{2}^{3}={{({{h}_{1}}+{{h}_{2}})}^{3}}-3({{h}_{1}}+{{h}_{2}}).{{h}_{1}}{{h}_{2}}\Rightarrow {{h}_{1}}{{h}_{2}}=200 \).
Kết hợp giả thiết: \( {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=30 \) ta được: \( \left\{ \begin{align} & {{h}_{1}}=10 \\ & {{h}_{2}}=20 \\ \end{align} \right. \).
Tử đó tỉ lệ cần tìm là \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{1}}}{{{\left( 20\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Dạy kèm môn Toán Cao Cấp - Xác suất thống kê
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
No comment yet, add your voice below!