Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2z-1=0 \) và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \). CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là:
A. \( 2\sqrt{6} \)
B. \( 2\sqrt{5} \)
C. \( 2\sqrt{2} \)
D. \( 2\sqrt{3} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;2), mặt phẳng (P) có VTPT \( \vec{n}=(1;-1;2) \). Gọi điểm C(x;y;z), ta có \( C\in (S) \) nên \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \) (1).
Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD, suy ra \( D(4-x;-y-2;4-z) \).
Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng (P) nên
\( \overrightarrow{IC}\bot \vec{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\vec{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0 \) (2)
Ta có: \( \overrightarrow{AB}=(1;-1;-1);\text{ }\overrightarrow{AC}=(x;y-1;z-1);\text{ }\overrightarrow{AD}=(4-x;-y-3;3-z) \).
\( \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 \right) \).
\( \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).(-2x+4z-4)+(-1).(-4x-4y+4)=6x+6y-6 \).
Thể tích khối tứ diện ABCD là: \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\left| x+y-1 \right|\).
Đặt \( \left\{ \begin{align} & x-2=a \\ & y+1=b \\ & z-2=c \\ \end{align} \right. \). Từ (1) và (2) ta có hệ: \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\ & a-b+2c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a-b=-2c \\ & ab=\frac{4-5{{c}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \).
\( V=\left| x+y-1 \right|=\left| x-2+y+1 \right|=\left| a+b \right|=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+4ab} \)
\( =\sqrt{4{{c}^{2}}+2(4-5{{c}^{2}})}=\sqrt{8-6{{c}^{2}}}\le 2\sqrt{2} \).
Vậy giá trị lớn nhất của V là \( 2\sqrt{2} \) khi và chỉ khi:
\( \left\{ \begin{align} & z-2=0 \\ & x-2=y+1 \\ & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2+\sqrt{2};y=-1+\sqrt{2};z=2 \\ & x=2-\sqrt{2};y=-1-\sqrt{2};z=2 \\ \end{align} \right. \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!