Cho hàm số y=x^3−3mx^2+4m^2−2 có đồ thị (C) và điểm C(1;4). Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Đồ thị (C) có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó:  \( A\left( 0;4{{m}^{2}}-2 \right) \),  \( B\left( 2m;-4{{m}^{3}}+4{{m}^{2}}-2 \right) \)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}}=2\left| m \right|\sqrt{4{{m}^{2}}+1}\)

Phương trình đường thẳng AB là:  \( \frac{x-0}{2m-0}=\frac{y-\left( 4{{m}^{2}}-2 \right)}{-4{{m}^{3}}} \)  \( \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}x+y-4{{m}^{2}}+2=0 \)

 \( {{d}_{\left( C,AB \right)}}=\frac{\left| 2{{m}^{2}}+4-4{{m}^{2}}+2 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}} \)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S=\frac{1}{2}.AB.{{d}_{\left( C,AB \right)}}=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\left| m \right|.\sqrt{4{{m}^{4}}+1}.\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=4\)

\(\Leftrightarrow \left| m\left( {{m}^{2}}-3 \right) \right|=2\Leftrightarrow {{m}^{6}}-6{{m}^{4}}+9{{m}^{2}}-4=0\)\(\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=\pm 1 \\  & m=\pm 2 \\ \end{align} \right.\)

Do m nguyên dương nên ta được m = 1, m = 2, tổng thu được là 3.