Cho hàm số y=x^3−3mx^2+4m^2−2 có đồ thị (C) và điểm C(1;4). Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4

Cho hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{2}}-2 \) có đồ thị (C) và điểm  \( C\left( 1;4 \right) \). Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4.

A. 6

B. 5

C. 3                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Đồ thị (C) có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó:  \( A\left( 0;4{{m}^{2}}-2 \right) \),  \( B\left( 2m;-4{{m}^{3}}+4{{m}^{2}}-2 \right) \)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}}=2\left| m \right|\sqrt{4{{m}^{2}}+1}\)

Phương trình đường thẳng AB là:  \( \frac{x-0}{2m-0}=\frac{y-\left( 4{{m}^{2}}-2 \right)}{-4{{m}^{3}}} \)  \( \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}x+y-4{{m}^{2}}+2=0 \)

 \( {{d}_{\left( C,AB \right)}}=\frac{\left| 2{{m}^{2}}+4-4{{m}^{2}}+2 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}} \)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S=\frac{1}{2}.AB.{{d}_{\left( C,AB \right)}}=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\left| m \right|.\sqrt{4{{m}^{4}}+1}.\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=4\)

\(\Leftrightarrow \left| m\left( {{m}^{2}}-3 \right) \right|=2\Leftrightarrow {{m}^{6}}-6{{m}^{4}}+9{{m}^{2}}-4=0\)\(\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=\pm 1 \\  & m=\pm 2 \\ \end{align} \right.\)

Do m nguyên dương nên ta được m = 1, m = 2, tổng thu được là 3.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *