Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f′(x)=(x^2+9x)(x^2−9) với ∀x∈R. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=g(x)=f(∣∣x^3+3x∣∣+2m−m^2) có không quá 6 điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do  \( g(-x)=f\left( \left| -{{x}^{3}}-3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=g(x) \) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số g(x) có không quá 6 điểm cực trị (cụ thể là tối đa 5 cực trị) thì hàm số  \( h(x)=f({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}) \) có tối đa 2 điểm cực trị dương.

Tức phương trình  \( {h}'(x)=(3{{x}^{2}}+3){f}'({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}})=0 \) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương.

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=0 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-9 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-3 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m={{y}_{3}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-=-{{y}_{1}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-3={{y}_{2}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m+3={{y}_{4}} \\ \end{align} \right. \)   (*).

Như vậy để thỏa mãn đề bài thi bốn đường thẳng lần lượt là  \( {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}} \) phải cắt đồ thị  \( y={{x}^{3}}+3x \) tại tối đa hai nghiệm dương.

Xét hàm số  \( y={{x}^{3}}+3x \) có  \( {y}’=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( y(0)=0 \).

Nhận thấy  \( {{m}^{2}}-2m+3={{(m-1)}^{2}}+2>0 \) luôn đúng nên hệ (*) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:

Trường hợp 1:  \( {{m}^{2}}-2m\le 0\Leftrightarrow m\in [0;2] \) thì hệ (*) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

Trường hợp 2:  \( {{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & m>2 \\ \end{align} \right. \) thì hệ (*) đang có 2 nghiệm dương. Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là:

 \( \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-2m-9\le 0 \\  & {{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in [-1;3] \).

So với điều kiện ta suy ra  \( m\in \{-1;3\} \).

Từ hai trường hợp ta suy ra  \( m\in \{-1;0;1;2;3\} \) tức có 5 giá trị nguyên m thỏa.