Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là \( {f}'(x)=({{x}^{2}}+9x)({{x}^{2}}-9) \) với \( \forall x\in \mathbb{R} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y=g(x)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right) \) có không quá 6 điểm cực trị?
A. 2.
B. 5.
C. 4.
D. 7.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Do \( g(-x)=f\left( \left| -{{x}^{3}}-3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=g(x) \) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số g(x) có không quá 6 điểm cực trị (cụ thể là tối đa 5 cực trị) thì hàm số \( h(x)=f({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}) \) có tối đa 2 điểm cực trị dương.
Tức phương trình \( {h}'(x)=(3{{x}^{2}}+3){f}'({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}})=0 \) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương.
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=0 \\ & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-9 \\ & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-3 \\ & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m={{y}_{3}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-=-{{y}_{1}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-3={{y}_{2}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m+3={{y}_{4}} \\ \end{align} \right. \) (*).
Như vậy để thỏa mãn đề bài thi bốn đường thẳng lần lượt là \( {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}} \) phải cắt đồ thị \( y={{x}^{3}}+3x \) tại tối đa hai nghiệm dương.
Xét hàm số \( y={{x}^{3}}+3x \) có \( {y}’=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R} \) và \( y(0)=0 \).
Nhận thấy \( {{m}^{2}}-2m+3={{(m-1)}^{2}}+2>0 \) luôn đúng nên hệ (*) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:
Trường hợp 1: \( {{m}^{2}}-2m\le 0\Leftrightarrow m\in [0;2] \) thì hệ (*) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị.
Trường hợp 2: \( {{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & m>2 \\ \end{align} \right. \) thì hệ (*) đang có 2 nghiệm dương. Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là:
\( \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-2m-9\le 0 \\ & {{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in [-1;3] \).
So với điều kiện ta suy ra \( m\in \{-1;3\} \).
Từ hai trường hợp ta suy ra \( m\in \{-1;0;1;2;3\} \) tức có 5 giá trị nguyên m thỏa.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!