Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f′(x)=(x^2+9x)(x^2−9) với ∀x∈R. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=g(x)=f(∣∣x^3+3x∣∣+2m−m^2) có không quá 6 điểm cực trị?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là \( {f}'(x)=({{x}^{2}}+9x)({{x}^{2}}-9) \) với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  \( y=g(x)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right) \) có không quá 6 điểm cực trị?

A. 2.

B. 5.

C. 4.                                  

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do  \( g(-x)=f\left( \left| -{{x}^{3}}-3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=g(x) \) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số g(x) có không quá 6 điểm cực trị (cụ thể là tối đa 5 cực trị) thì hàm số  \( h(x)=f({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}) \) có tối đa 2 điểm cực trị dương.

Tức phương trình  \( {h}'(x)=(3{{x}^{2}}+3){f}'({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}})=0 \) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương.

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=0 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-9 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-3 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m={{y}_{3}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-=-{{y}_{1}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-3={{y}_{2}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m+3={{y}_{4}} \\ \end{align} \right. \)   (*).

Như vậy để thỏa mãn đề bài thi bốn đường thẳng lần lượt là  \( {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}} \) phải cắt đồ thị  \( y={{x}^{3}}+3x \) tại tối đa hai nghiệm dương.

Xét hàm số  \( y={{x}^{3}}+3x \) có  \( {y}’=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( y(0)=0 \).

Nhận thấy  \( {{m}^{2}}-2m+3={{(m-1)}^{2}}+2>0 \) luôn đúng nên hệ (*) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:

Trường hợp 1:  \( {{m}^{2}}-2m\le 0\Leftrightarrow m\in [0;2] \) thì hệ (*) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

Trường hợp 2:  \( {{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & m>2 \\ \end{align} \right. \) thì hệ (*) đang có 2 nghiệm dương. Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là:

 \( \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-2m-9\le 0 \\  & {{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in [-1;3] \).

So với điều kiện ta suy ra  \( m\in \{-1;3\} \).

Từ hai trường hợp ta suy ra  \( m\in \{-1;0;1;2;3\} \) tức có 5 giá trị nguyên m thỏa.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *