Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình 1+log2(2−x)−2log2(m−x/2+4(√(2−x)+√(2x+2)))≤−log2(x+1) có nghiệm

Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình \(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) có nghiệm. Cho đáp án đúng trong các khẳng định sau:

A. \( {{m}_{0}}\in \left( 9;10 \right) \)

B.  \( {{m}_{0}}\in \left( 8;9 \right) \)           

C.  \( {{m}_{0}}\in \left( -10;-9 \right) \)    

D.  \( {{m}_{0}}\in \left( -9;-8 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align}  & -1 < x<2 \\  & m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1< x<2 \\  & m>\frac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\ \end{align} \right.\) (*)

Với điều kiện trên bất phương trình:

\(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right)\left( x+1 \right) \right]\le {{\log }_{2}}{{\left[ m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right]}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\frac{x}{2}+4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \)

 \( \Leftrightarrow m\ge \frac{x}{2}-4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) (1)

Ta thấy các nghiệm của (1) trong khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) luôn thỏa mãn (*)

Đặt \(t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\), t > 0 với  \( x\in \left( -1;2 \right) \)

Xét \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\) với \(x\in \left( -1;2 \right)\).

 \( {f}'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=\frac{2\sqrt{2-x}-\sqrt{2x+2}}{2\sqrt{(2-x)(2x+2)}} \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=\sqrt{2x+2}\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Suy ra khi  \( x\in \left( -1;2 \right) \) khi  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \).

Ta có:  \( {{t}^{2}}=4+x+2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\sqrt{(2-x)(2x+2)}=\frac{{{t}^{2}}-4}{2} \)

(1) trở thành:  \( m\ge \frac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\Leftrightarrow 2m\ge {{t}^{2}}-8t-4 \) (2)

(1) có nghiệm  \( x\in \left( -1;2 \right) \) \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm \(t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\).

Xét hàm số  \( y=g(t)={{t}^{2}}-8t-4 \)  trên \(\left( \sqrt{3};3 \right]\).

Bảng biến thiên:

Do đó, bất phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right]  \)khi và chỉ khi  \( 2m\ge 19\Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{2} \).

Suy ra:  \( {{m}_{0}}=-\frac{19}{2}\in \left( -10;-9 \right) \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho bất phương trình log7(x^2+2x+2)>log7(x^2+6x+5+m). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)

Cho bất phương trình \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right) \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

A. 36

B. 34                                 

C. 35                                

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+6x+5+m>0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\  &6{{x}^{2}}+8x+9>m,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & m<{{x}^{2}}+6x+5,\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét  \( g(x)=-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),x\in \left( 1;3 \right) \) có  \( g(x)=-{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4<-{{(1+3)}^{2}}+4=-12,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (1)\Leftrightarrow m\ge -12 \)

Xét \(h(x)=6{{x}^{2}}+8x+9,x\in \left( 1;3 \right)\), có  \( h(x)>{{6.1}^{2}}+8.1+9=23,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (2)\Leftrightarrow m\le 23 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in \left[ -12;23 \right] \) nên ta được tập các giá trị của  \( m\in \left\{ -12;-11;-10;…;23 \right\} \).

Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m^2(x^5−x^4)−m(x^4−x^3)+x−lnx−1≥0 thỏa mãn với ∀x>0. Tính tổng các giá trị trong tập hợp S

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge 0 \) thỏa mãn với  \( \forall x>0 \). Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.

A. 2

B. 0

C. 1                                   

D.  \( -2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge  \)

Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).

Bất phương trình đã cho viết thành  \( f(x)\ge 0 \).

Giả sử  \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).

 \( f(x)\ge 0 \) với  \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.

Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).

Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

 

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).

Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .

 \( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)

Ta có:  \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)

Suy ra  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).

Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy  \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét bất phương trình log^22(2x)−2(m+1)log2x−2<0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng (√2;+∞)

Xét bất phương trình \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \).

A. \( m\in \left( -\frac{3}{4};0 \right) \)

B.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

C.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right) \)               

D.  \( m\in \left( -\frac{3}{4};+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Bất phương trình  \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \) \( \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0 \) (1).

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), vì  \( x\in \left( \sqrt{2};+\infty  \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow 2mt>{{t}^{2}}-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2m>\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) (2).

Đặt  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) với  \( t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Ta có:  \( {f}'(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi  \( 2m>-\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn logx^2+y^2+2(4x+4y−6+m^2)≥1 và x^2+y^2+2x−4y+1=0

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 1 \) và  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

A. \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\}\)

B.  \( S=\left\{ -1;1 \right\} \)

C.  \( S=\left\{ -5;5 \right\} \)    

D.  \( S=\left\{ -7;-5;-1;1;5;7 \right\} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Nhận thấy  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \) với mọi  \( x,y\in \mathbb{R} \) nên:

 \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8-{{m}^{2}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{m}^{2}} \) (*)

Khi m = 0 thì  \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \). Cặp (2;2) không là nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

Khi  \( m\ne 0 \), tập hợp các điểm  \( \left( x;y \right) \) thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J(2;2), bán kính là  \( \left| m \right| \).

Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để điện trở tâm  \( I\left( -1;2 \right) \), bán kính 2 và hình tròn tâm J(2;2), bán kính  \( \left| m \right| \) có đúng một điểm chung (hình vẽ)

Điều này xảy ra khi \(\left[ \begin{align}  & \left| m \right|=1 \\  & \left| m \right|=5 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\pm 1 \\  & m=\pm 5 \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn  \( m\ne 0 \)).

Vậy  \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình log2(x^2+mx+m+2)≥log2(x^2+2) nghiệm đúng với ∀x∈R

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta thấy  \( {{x}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Do đó bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+2\ge {{x}^{2}}+2\Leftrightarrow mx+m\ge 0\)

Bất phương trình  \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi  \( mx+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m=0 \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log1/2(x−1)>log1/2(x^3+x−m) có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \) có nghiệm.

A. \( m\le 2 \)                                          

B.  \( m\in \mathbb{R} \) 

C. m < 2           

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}  & x>1 \\  & {{x}^{3}}+x-m>0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình tương đương  \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \)

 \( \Leftrightarrow x-1<{{x}^{3}}+x-m\Leftrightarrow {{x}^{3}}+1>m  \)

Khi đó, ta có:  \( f(x)={{x}^{3}}+1>m,\text{ }\left( x>1 \right) \)\( \Leftrightarrow m<\displaystyle \min_{(1;+\infty)}f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\notin \left( 1;+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên về đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn  \( m\in \mathbb{R} \)

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!