Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình \(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) có nghiệm. Cho đáp án đúng trong các khẳng định sau:
A. \( {{m}_{0}}\in \left( 9;10 \right) \)
B. \( {{m}_{0}}\in \left( 8;9 \right) \)
C. \( {{m}_{0}}\in \left( -10;-9 \right) \)
D. \( {{m}_{0}}\in \left( -9;-8 \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align} & -1 < x<2 \\ & m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1< x<2 \\ & m>\frac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\ \end{align} \right.\) (*)
Với điều kiện trên bất phương trình:
\(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right)\left( x+1 \right) \right]\le {{\log }_{2}}{{\left[ m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right]}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\frac{x}{2}+4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \)
\( \Leftrightarrow m\ge \frac{x}{2}-4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) (1)
Ta thấy các nghiệm của (1) trong khoảng \( \left( -1;2 \right) \) luôn thỏa mãn (*)
Đặt \(t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\), t > 0 với \( x\in \left( -1;2 \right) \)
Xét \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\) với \(x\in \left( -1;2 \right)\).
\( {f}'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=\frac{2\sqrt{2-x}-\sqrt{2x+2}}{2\sqrt{(2-x)(2x+2)}} \)
\( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=\sqrt{2x+2}\Leftrightarrow x=1 \)
Bảng biến thiên:
Suy ra khi \( x\in \left( -1;2 \right) \) khi \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \).
Ta có: \( {{t}^{2}}=4+x+2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\sqrt{(2-x)(2x+2)}=\frac{{{t}^{2}}-4}{2} \)
(1) trở thành: \( m\ge \frac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\Leftrightarrow 2m\ge {{t}^{2}}-8t-4 \) (2)
(1) có nghiệm \( x\in \left( -1;2 \right) \) \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm \(t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\).
Xét hàm số \( y=g(t)={{t}^{2}}-8t-4 \) trên \(\left( \sqrt{3};3 \right]\).
Bảng biến thiên:
Do đó, bất phương trình (2) có nghiệm \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \)khi và chỉ khi \( 2m\ge 19\Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{2} \).
Suy ra: \( {{m}_{0}}=-\frac{19}{2}\in \left( -10;-9 \right) \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)