Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình 1+log2(2−x)−2log2(m−x/2+4(√(2−x)+√(2x+2)))≤−log2(x+1) có nghiệm

Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình \(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) có nghiệm. Cho đáp án đúng trong các khẳng định sau:

A. \( {{m}_{0}}\in \left( 9;10 \right) \)

B.  \( {{m}_{0}}\in \left( 8;9 \right) \)           

C.  \( {{m}_{0}}\in \left( -10;-9 \right) \)    

D.  \( {{m}_{0}}\in \left( -9;-8 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align}  & -1 < x<2 \\  & m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1< x<2 \\  & m>\frac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\ \end{align} \right.\) (*)

Với điều kiện trên bất phương trình:

\(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right)\left( x+1 \right) \right]\le {{\log }_{2}}{{\left[ m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right]}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\frac{x}{2}+4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \)

 \( \Leftrightarrow m\ge \frac{x}{2}-4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) (1)

Ta thấy các nghiệm của (1) trong khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) luôn thỏa mãn (*)

Đặt \(t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\), t > 0 với  \( x\in \left( -1;2 \right) \)

Xét \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\) với \(x\in \left( -1;2 \right)\).

 \( {f}'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=\frac{2\sqrt{2-x}-\sqrt{2x+2}}{2\sqrt{(2-x)(2x+2)}} \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=\sqrt{2x+2}\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Suy ra khi  \( x\in \left( -1;2 \right) \) khi  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \).

Ta có:  \( {{t}^{2}}=4+x+2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\sqrt{(2-x)(2x+2)}=\frac{{{t}^{2}}-4}{2} \)

(1) trở thành:  \( m\ge \frac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\Leftrightarrow 2m\ge {{t}^{2}}-8t-4 \) (2)

(1) có nghiệm  \( x\in \left( -1;2 \right) \) \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm \(t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\).

Xét hàm số  \( y=g(t)={{t}^{2}}-8t-4 \)  trên \(\left( \sqrt{3};3 \right]\).

Bảng biến thiên:

Do đó, bất phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right]  \)khi và chỉ khi  \( 2m\ge 19\Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{2} \).

Suy ra:  \( {{m}_{0}}=-\frac{19}{2}\in \left( -10;-9 \right) \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho bất phương trình log7(x^2+2x+2)>log7(x^2+6x+5+m). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)

Cho bất phương trình \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right) \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

A. 36

B. 34                                 

C. 35                                

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right),\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+6x+5+m>0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\  &6{{x}^{2}}+8x+9>m,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\  & m<{{x}^{2}}+6x+5,\forall x\in \left( 1;3 \right)\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét  \( g(x)=-\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right),x\in \left( 1;3 \right) \) có  \( g(x)=-{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4<-{{(1+3)}^{2}}+4=-12,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (1)\Leftrightarrow m\ge -12 \)

Xét \(h(x)=6{{x}^{2}}+8x+9,x\in \left( 1;3 \right)\), có  \( h(x)>{{6.1}^{2}}+8.1+9=23,\forall x\in \left( 1;3 \right) \)

Do đó,  \( (2)\Leftrightarrow m\le 23 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in \left[ -12;23 \right] \) nên ta được tập các giá trị của  \( m\in \left\{ -12;-11;-10;…;23 \right\} \).

Vậy có tổng cộng 36 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m^2(x^5−x^4)−m(x^4−x^3)+x−lnx−1≥0 thỏa mãn với ∀x>0. Tính tổng các giá trị trong tập hợp S

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge 0 \) thỏa mãn với  \( \forall x>0 \). Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.

A. 2

B. 0

C. 1                                   

D.  \( -2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge  \)

Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).

Bất phương trình đã cho viết thành  \( f(x)\ge 0 \).

Giả sử  \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).

 \( f(x)\ge 0 \) với  \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.

Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).

Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

 

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).

Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .

 \( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)

Ta có:  \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)

Suy ra  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).

Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy  \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Xét bất phương trình log^22(2x)−2(m+1)log2x−2<0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng (√2;+∞)

Xét bất phương trình \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \).

A. \( m\in \left( -\frac{3}{4};0 \right) \)

B.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

C.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right) \)               

D.  \( m\in \left( -\frac{3}{4};+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Bất phương trình  \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \) \( \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0 \) (1).

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), vì  \( x\in \left( \sqrt{2};+\infty  \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow 2mt>{{t}^{2}}-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2m>\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) (2).

Đặt  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) với  \( t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Ta có:  \( {f}'(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi  \( 2m>-\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn logx^2+y^2+2(4x+4y−6+m^2)≥1 và x^2+y^2+2x−4y+1=0

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 1 \) và  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

A. \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\}\)

B.  \( S=\left\{ -1;1 \right\} \)

C.  \( S=\left\{ -5;5 \right\} \)    

D.  \( S=\left\{ -7;-5;-1;1;5;7 \right\} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Nhận thấy  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \) với mọi  \( x,y\in \mathbb{R} \) nên:

 \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8-{{m}^{2}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{m}^{2}} \) (*)

Khi m = 0 thì  \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \). Cặp (2;2) không là nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

Khi  \( m\ne 0 \), tập hợp các điểm  \( \left( x;y \right) \) thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J(2;2), bán kính là  \( \left| m \right| \).

Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để điện trở tâm  \( I\left( -1;2 \right) \), bán kính 2 và hình tròn tâm J(2;2), bán kính  \( \left| m \right| \) có đúng một điểm chung (hình vẽ)

Điều này xảy ra khi \(\left[ \begin{align}  & \left| m \right|=1 \\  & \left| m \right|=5 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\pm 1 \\  & m=\pm 5 \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn  \( m\ne 0 \)).

Vậy  \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình log2(x^2+mx+m+2)≥log2(x^2+2) nghiệm đúng với ∀x∈R

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta thấy  \( {{x}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Do đó bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+2\ge {{x}^{2}}+2\Leftrightarrow mx+m\ge 0\)

Bất phương trình  \( {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+m+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi  \( mx+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m=0 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log1/2(x−1)>log1/2(x^3+x−m) có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \) có nghiệm.

A. \( m\le 2 \)                                          

B.  \( m\in \mathbb{R} \) 

C. m < 2           

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}  & x>1 \\  & {{x}^{3}}+x-m>0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình tương đương  \( {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right) \)

 \( \Leftrightarrow x-1<{{x}^{3}}+x-m\Leftrightarrow {{x}^{3}}+1>m  \)

Khi đó, ta có:  \( f(x)={{x}^{3}}+1>m,\text{ }\left( x>1 \right) \)\( \Leftrightarrow m<\displaystyle \min_{(1;+\infty)}f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\notin \left( 1;+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên về đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn  \( m\in \mathbb{R} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình log2(7x^2+7)≥log2(mx^2+4x+m) nghiệm đúng ∀x∈R

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

A. 5

B. 4

C. 0                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

Bất phương trình:  \( {{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(x)=(m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & g(x)=m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 1: m = 7

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x\le 0 \\ & 7{{x}^{2}}+4x+7>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 7 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: m = 0.

\( \left\{ \begin{align}  & f(x)\le 0 \\  & g(x)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -7{{x}^{2}}+4x-7\le 0 \\  & 4x>0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 3:  \( m\ne 0;m\ne 7 \)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align} & f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\  & g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{f}}<0 \\  & \Delta _{f}^{/}\le 0 \\  & {{a}_{g}}>0 \\  & \Delta _{g}^{/}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7<0 \\ & 4-{{(m-7)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\  & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2< m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

Cách 2:

\({{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (m-7){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\  & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}-4x+7\ge m\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ & m\left( {{x}^{2}}+1 \right)>-4x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\le \frac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=7-\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\ & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-7\le -\frac{4x}{{{x}^{2}}+1} \\  & m>\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1} \\ \end{align} \right. \) (*)

Xét hàm số  \( g(x)=-\frac{-4x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \mathbb{R} \).

\({g}'(x)=\frac{-4({{x}^{2}}+1)+4x({{x}^{2}}+1{)}’}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}\)

\({g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-7\le -2 \\  & m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình ln(7×2+7)≥ln(mx2+4x+m) nghiệm đúng với ∀x∈R

Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) nghiệm đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Tính S.

A. S = 14

B. S = 0

C. S = 12                         

D. S = 35.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & m{{x}^{2}}+4x+m>0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Bất phương trình đã cho đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi các bất phương trình (1), (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \).

Xét  \( (7-m){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \) (1).

+ Khi m = 7, ta có (1) trở thành  \( -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0 \). Do đó, m = 7 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 7 \), ta có (1) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 7-m>0 \\ & {\Delta }’\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<7 \\  & m\le 5\vee m\ge 9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 5 \) (*)

Xét  \( m{{x}^{2}}+4x+m>0 \) (2)

+ Khi m = 0, ta có (2) trở thành  \( -4x>0\Leftrightarrow x<0 \). Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi  \( m\ne 0 \), ta có (2) đúng với  \( \forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & {\Delta }'<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & 4-{{m}^{2}}<0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & m<-2\vee m>2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \) (**)

Từ (*) và (**), ta có:  \( 2<m\le 5 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 3;4;5 \right\} \). Từ đó  \( S=3+4+5=12 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!