Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=(m+1)x^4−2(2m−3)x^2+6m+5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ x1,x2,x3,x4 thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=\left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5 \) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \) thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \).

A. \(m\in \left( -1;-\frac{5}{6} \right)\)

B. \(m\in \left( -3;-1 \right)\)

C. \(m\in \left( -3;1 \right)\)  

D. \(m\in \left( -4;-1 \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

 \( \left( m+1 \right){{x}^{4}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+6m+5=0 \)  (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\ge 0 \) phương trình trở thành:  \( \left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5=0 \)  (2)

Cách 1:

 \( g(t)=\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5 \)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay  \( \left\{ \begin{align}  & m+1\ne 0 \\  & {\Delta }’>0 \\  & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\  & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\  & \frac{6m+5}{m+1}>0 \\  & \frac{2m-3}{m+1}>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne -1 \\  & \frac{-23-\sqrt{561}}{4}<m<\frac{-23+\sqrt{561}}{4} \\  & m<-1\vee m>-\frac{5}{6} \\  & m<-1\vee m>\frac{3}{2} \\ \end{align} \right. \)   (*)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{t}_{1}}-1<0 \\  & {{t}_{2}}-1>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0 \) \( \Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{6m+5}{m+1}-\frac{2\left( 2m-3 \right)}{m+1}+1<0 \) \( \Leftrightarrow \frac{3m+12}{m+1}<0\Leftrightarrow -4<m<-1 \)

Kết hợp với (*) ta có:  \( m\in \left( -4;-1 \right) \) thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<{{x}_{4}} \) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \)

Phương trình (2)  \( \Leftrightarrow m=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) (biểu thức  \( v \))

Xét hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) với  \( t\in \left( 0;+\infty  \right) \).

Ta có f(t) liên tục trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và có  \( {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}} \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{1-\sqrt{561}}{10}<0 \\  & t=\frac{1+\sqrt{561}}{10}>1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( f(t)=\frac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{t}^{2}}-4t+6} \) tại hai giao điểm có hoành độ thỏa  \( 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}} \) khi  \( -4<m<-1 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *