Hàm số y=(x^2+m)/(x^2+1) đồng biến trên R khi giá trị của m

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \({y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \);

+ Với m = 1 \( \Rightarrow {y}’=0 \), khi đó hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {y}’=0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra m = 1 (loại).

Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( {y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \)\( \Leftrightarrow 2x(1-m)>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

+ Với m > 1 \( \Rightarrow 1-m<0 \), khi đó  \( (*)\Leftrightarrow x<0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

+ Với m < 1 \(\Rightarrow 1-m>0 \), khi đó \( (*)\Leftrightarrow x>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

Vậy không có giá trị của m làm cho hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).