Cho hàm số y=asinx+bcosx+x với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)  \( \Leftrightarrow {y}’=a\cos x-b\sin x+1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

Ta có:  \({{\left( a\cos x-b\sin x \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x+1\le 1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) hay  \( \left( a\cos x-b\sin x+1 \right)\in \left[ 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right] \).

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1\)