Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E là điểm trên cung BDC⌢, F trên cạnh BC thỏa mãn BAFˆ=CAEˆ<12BACˆ, gọi G là trung điểm IF

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E là điểm trên cung \( \overset\frown{BDC} \), F trên cạnh BC thỏa mãn  \( \widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC} \), gọi G là trung điểm IF. Chứng minh rằng giao điểm của DG và EI nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi P là giao điểm của EI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AI cắt BC tại J; AF cắt đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC \) tại K, cắt DP tại Q.

Theo giả thiết  \( \widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC}\Rightarrow \overset\frown{CE}=\overset\frown{BK}\Rightarrow CE=BK\Rightarrow BC\parallel KE \);

AD là phân giác góc  \( \widehat{A}\Rightarrow \widehat{KAD}=\widehat{DPE} \).

 \( \Rightarrow APQI \) nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{AQI}=\widehat{API}=\widehat{AKE}\Rightarrow QI\parallel KE\Rightarrow QI\parallel KE\parallel BC \).

 \( \Rightarrow \frac{QF}{QA}=\frac{IJ}{IA} \), AI cắt BC tại J, I là tâm đường tròn nội tiếp  \( \Rightarrow \frac{JI}{IA}=\frac{CJ}{CA} \);

 \( \widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow \Delta DCJ\backsim \Delta DAC \) (g.g).

 \( \Rightarrow \frac{CJ}{AC}=\frac{DC}{DA} \), kết hợp  \( DI=DC\Rightarrow \frac{DC}{DA}=\frac{ID}{AD} \).

 \( \frac{FQ}{QA}=\frac{JI}{AI}=\frac{CJ}{AC}=\frac{DC}{AD}=\frac{ID}{AD} \)   (*)

Theo Menelaus với  \( \Delta AIF \) cát tuyến PQD, giả sử PQD cắt FI tại G’, ta có:  \( \frac{QA}{QF}.\frac{{G}’F}{{G}’I}.\frac{DI}{DA}=1 \), kết hợp  \( (*)\Rightarrow \frac{{G}’F}{{G}’I}=1\Rightarrow {G}’F={G}’I\Rightarrow G\equiv {G}’ \).

 \( \Rightarrow DG \) và EI cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *