Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z^21+z^22−z1z2=0, khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

+ Gọi  \( {{z}_{1}}=a+bi  \)  ( \( a,b\in \mathbb{R}:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \)). A(a;b)

Khi đó  \( {{z}_{2}} \) là nghiệm phương trình:  \( z_{2}^{2}-(a+bi){{z}_{2}}+{{(a+bi)}^{2}}=0 \)

+ Ta có:  \( \Delta ={{(a+bi)}^{2}}-4{{(a+bi)}^{2}}=-3{{(a+bi)}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(a+bi)i \right]}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(ai-b) \right]}^{2}} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 \( {{z}_{2}}=\frac{a-\sqrt{3}b}{2}+\frac{\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên \(B\left( \frac{a-\sqrt{3}b}{2};\frac{\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

Hoặc  \( {{z}_{2}}=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+\frac{-\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên  \( B\left( \frac{a+\sqrt{3}b}{2};\frac{-\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

+ Tính \(O{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}};\text{ }O{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\text{; }A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Vậy tam giác OAB đều.

Cách 2:

Theo giả thiết:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Rightarrow \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=0\Leftrightarrow z_{1}^{3}=-z_{2}^{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow OA=OB  \)

Mặt khác:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2} }\)

 \( \Rightarrow \left| {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}} \right|=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow A{{B}^{2}}=OA.OB  \)

Mà OA = OB nên AB = OA = OB.

Vậy tam giác OAB đều.

Cách 3:

 \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \)

Vậy OA = OB.

Mặt khác:  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow AB=OB  \)

Vậy tam giác OAB đều.