Cho các số phức w, z thỏa mãn \( \left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5} \) và \( 5w=(2+i)(z-4) \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng
A. \( 6\sqrt{7} \)
B. \( 4+2\sqrt{13} \)
C. \( 2\sqrt{53} \)
D. \( 4\sqrt{13} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Khi đó M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z.
Theo giả thiết, \( 5w=(2+i)(z-4)\Leftrightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i \)
\( \Leftrightarrow (2-i)(w+i)=z-3+2i\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3 \).
Suy ra M(x;y) thuộc đường tròn \( (C):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=9 \).
Ta có: \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=MA+MB \), với A(1;2) và B(5:2).
Gọi H là trung điểm của AB, ta có H(3;2) và khi đó:
\( P=MA+MB\le \sqrt{2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}})} \) hay \( P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}} \).
Mặt khác, \( MH\le KH \) với \( M\in (C) \) nên \( P\le \sqrt{4K{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{(IH+R)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53} \).
Vậy \( {{P}_{\max }}=2\sqrt{53}\) khi \(\left\{ \begin{align} & M\equiv K \\ & MA=MB \\\end{align} \right. \) hay \( z=3-5i \) và \( w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}I \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!