Cho các số phức w, z thỏa mãn \( \left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5} \) và \( 5w=(2+i)(z-4) \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng

Cho các số phức w, z thỏa mãn \( \left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5} \) và  \( 5w=(2+i)(z-4) \). Giá trị lớn nhất của biểu thức  \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng

A. \( 6\sqrt{7} \)

B.  \( 4+2\sqrt{13} \)                

C.  \( 2\sqrt{53} \)           

D.  \( 4\sqrt{13} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Khi đó M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z.

Theo giả thiết,  \( 5w=(2+i)(z-4)\Leftrightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i \)

\( \Leftrightarrow (2-i)(w+i)=z-3+2i\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3 \).

Suy ra M(x;y) thuộc đường tròn  \( (C):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=9 \).

Ta có:  \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=MA+MB \), với A(1;2) và B(5:2).

Gọi H là trung điểm của AB, ta có H(3;2) và khi đó:

\( P=MA+MB\le \sqrt{2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}})} \) hay  \( P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}} \).

Mặt khác,  \( MH\le KH \) với  \( M\in (C) \) nên  \( P\le \sqrt{4K{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{(IH+R)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53} \).

Vậy  \( {{P}_{\max }}=2\sqrt{53}\) khi  \(\left\{ \begin{align}  & M\equiv K \\  & MA=MB \\\end{align} \right. \) hay  \( z=3-5i \) và  \( w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}I \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *