Cho hai số phức z, w thỏa mãn \( \left\{ \begin{align}  & \left| z-3-2i \right|\le 1 \\  & \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\ \end{align} \right. \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=\left| z-w \right| \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Giả sử  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \).

\( \left| z-3-2i \right|\le 1\Leftrightarrow {{(a-3)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}\le 1 \)  (1)

\( \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right|\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}\le {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} \)

Suy ra  \( x+y=0 \).

\( P=\left| z-w \right|=\sqrt{{{(a-x)}^{2}}+{{(b-y)}^{2}}}=\sqrt{{{(a-x)}^{2}}+{{(b+x)}^{2}}} \).

Từ (1) ta có I(3;2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên  \( d:y=-x \).

Đường thẳng HI có phương trình tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+t \\  & y=2+t \\ \end{align} \right. \).

\( M\in HI\Rightarrow M(3+t;2+t) \).

\( M\in (C)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{\sqrt{2}} \\  & t=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align} \right. \).

\( t=2\Rightarrow M\left( 3+\frac{1}{\sqrt{2}};2+\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\text{ }MH=\frac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).

\( t=3\Rightarrow M\left( 3-\frac{1}{\sqrt{2}};2-\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\text{ }MH=\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2} \).