Cho hai số phức z, w thỏa mãn \( \left\{ \begin{align}  & \left| z-3-2i \right|\le 1 \\  & \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\ \end{align} \right. \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=\left| z-w \right| \)

Cho hai số phức z, w thỏa mãn \( \left\{ \begin{align}  & \left| z-3-2i \right|\le 1 \\  & \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\ \end{align} \right. \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P=\left| z-w \right| \).

A. \( {{P}_{\min }}=\frac{3\sqrt{2}-2}{2} \)

B.  \( {{P}_{\min }}=\sqrt{2}+1 \)             

C.  \( {{P}_{\min }}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2} \)                                       

D.  \( {{P}_{\min }}=\frac{3\sqrt{2}+2}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Giả sử  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \).

\( \left| z-3-2i \right|\le 1\Leftrightarrow {{(a-3)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}\le 1 \)  (1)

\( \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right|\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}\le {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} \)

Suy ra  \( x+y=0 \).

\( P=\left| z-w \right|=\sqrt{{{(a-x)}^{2}}+{{(b-y)}^{2}}}=\sqrt{{{(a-x)}^{2}}+{{(b+x)}^{2}}} \).

Từ (1) ta có I(3;2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên  \( d:y=-x \).

Đường thẳng HI có phương trình tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+t \\  & y=2+t \\ \end{align} \right. \).

\( M\in HI\Rightarrow M(3+t;2+t) \).

\( M\in (C)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{\sqrt{2}} \\  & t=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align} \right. \).

\( t=2\Rightarrow M\left( 3+\frac{1}{\sqrt{2}};2+\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\text{ }MH=\frac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).

\( t=3\Rightarrow M\left( 3-\frac{1}{\sqrt{2}};2-\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\text{ }MH=\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *