Cho các số phức w, z thỏa mãn \( \left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5} \) và \( 5w=(2+i)(z-4) \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Khi đó M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z.

Theo giả thiết,  \( 5w=(2+i)(z-4)\Leftrightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i \)

\( \Leftrightarrow (2-i)(w+i)=z-3+2i\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3 \).

Suy ra M(x;y) thuộc đường tròn  \( (C):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=9 \).

Ta có:  \( P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|=MA+MB \), với A(1;2) và B(5:2).

Gọi H là trung điểm của AB, ta có H(3;2) và khi đó:

\( P=MA+MB\le \sqrt{2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}})} \) hay  \( P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}} \).

Mặt khác,  \( MH\le KH \) với  \( M\in (C) \) nên  \( P\le \sqrt{4K{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{(IH+R)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53} \).

Vậy  \( {{P}_{\max }}=2\sqrt{53}\) khi  \(\left\{ \begin{align}  & M\equiv K \\  & MA=MB \\\end{align} \right. \) hay  \( z=3-5i \) và  \( w=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}I \).