Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z^21+z^22−z1z2=0, khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) khác 0 thỏa mãn đẳng thức  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0 \), khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ):

A. Là tam giác đều

B. Là tam giác vuông

C. Là tam giác cân, không đều

D. Là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

+ Gọi  \( {{z}_{1}}=a+bi  \)  ( \( a,b\in \mathbb{R}:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \)). A(a;b)

Khi đó  \( {{z}_{2}} \) là nghiệm phương trình:  \( z_{2}^{2}-(a+bi){{z}_{2}}+{{(a+bi)}^{2}}=0 \)

+ Ta có:  \( \Delta ={{(a+bi)}^{2}}-4{{(a+bi)}^{2}}=-3{{(a+bi)}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(a+bi)i \right]}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(ai-b) \right]}^{2}} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 \( {{z}_{2}}=\frac{a-\sqrt{3}b}{2}+\frac{\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên \(B\left( \frac{a-\sqrt{3}b}{2};\frac{\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

Hoặc  \( {{z}_{2}}=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+\frac{-\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên  \( B\left( \frac{a+\sqrt{3}b}{2};\frac{-\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

+ Tính \(O{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}};\text{ }O{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\text{; }A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Vậy tam giác OAB đều.

Cách 2:

Theo giả thiết:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Rightarrow \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=0\Leftrightarrow z_{1}^{3}=-z_{2}^{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow OA=OB  \)

Mặt khác:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2} }\)

 \( \Rightarrow \left| {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}} \right|=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow A{{B}^{2}}=OA.OB  \)

Mà OA = OB nên AB = OA = OB.

Vậy tam giác OAB đều.

Cách 3:

 \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \)

Vậy OA = OB.

Mặt khác:  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow AB=OB  \)

Vậy tam giác OAB đều.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *