Giải phương trình: tan^2x−tanx.tan3x=2

Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x-\tan x.\tan 3x=2 \)    (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne 0 \\  & \cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3cosx\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 3x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{h\pi }{3} \).

Lúc đó, ta có (*) \( \Leftrightarrow \tan x(\tan x-\tan 3x)=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}\left( \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)=2 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos 3x-\cos x\sin 3x)=2{{\cos }^{2}}xcos3x\Leftrightarrow \sin x\sin (-2x)=2{{\cos }^{2}}x.\cos 3x \)

 \( \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{2}}x\cos 3x\Leftrightarrow -{{\sin }^{2}}x=\cos x\cos 3x \) (do  \( \cos x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 2x)\Leftrightarrow \cos 4x=-1\Leftrightarrow 4x=\pi +k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

So sánh với điều kiện:

Cách 1: Khi  \( x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \) thì  \( \cos 3x=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2} \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) (nhận)

Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó: (*) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian.

Cách 3: Nếu  \( 3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+h\pi \Leftrightarrow 3+6k=2+4h\Leftrightarrow 1=4h-6k \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}=2h-3k \) (vô lý vì  \( k,h\in \mathbb{Z} \)).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *