Giải phương trình: tan^2x−tanx.tan3x=2

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne 0 \\  & \cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3cosx\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 3x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{h\pi }{3} \).

Lúc đó, ta có (*) \( \Leftrightarrow \tan x(\tan x-\tan 3x)=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}\left( \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)=2 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos 3x-\cos x\sin 3x)=2{{\cos }^{2}}xcos3x\Leftrightarrow \sin x\sin (-2x)=2{{\cos }^{2}}x.\cos 3x \)

 \( \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{2}}x\cos 3x\Leftrightarrow -{{\sin }^{2}}x=\cos x\cos 3x \) (do  \( \cos x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 2x)\Leftrightarrow \cos 4x=-1\Leftrightarrow 4x=\pi +k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

So sánh với điều kiện:

Cách 1: Khi  \( x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \) thì  \( \cos 3x=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2} \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) (nhận)

Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó: (*) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian.

Cách 3: Nếu  \( 3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+h\pi \Leftrightarrow 3+6k=2+4h\Leftrightarrow 1=4h-6k \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}=2h-3k \) (vô lý vì  \( k,h\in \mathbb{Z} \)).