Giải phương trình: \( \frac{{{(1-\cos x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}}{4(1-\sin x)}-{{\tan }^{2}}x\sin x=\frac{1}{2}(1+\sin x)+{{\tan }^{2}}x \)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne 0 \\  & \sin x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{2(1+{{\cos }^{2}}x)}{4(1-\sin x)}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}=\frac{1}{2}(1+\sin x)+\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x} \)

 \( \Leftrightarrow (1+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)-2{{\sin }^{3}}x=(1+\sin x)(1-{{\sin }^{2}}x)+2{{\sin }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow (1+\sin x)(1+{{\cos }^{2}}x)=(1+\sin x){{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x(1+\sin x) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1+\sin x=0 \\  & 1+{{\cos }^{2}}x={{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=-1(\text{loại do  }\cos x\ne 0) \\  & 1=1-\cos 2x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x=0\) (nhận do  \( \cos x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).