Giải phương trình: tan^2x+cot^2x+cot^22x=11/3

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne 0 \\  & \sin x\ne 0 \\  & \sin 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Do đó:

(*) \( \Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}2x}-1 \right)=\frac{11}{3} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{4{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow \frac{4{{\sin }^{2}}x+4{{\cos }^{2}}x+1}{4{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x}=\frac{20}{3} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=\frac{3}{4} \) (nhận do  \( \sin 2x\ne 0 \)).

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos 4x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow 4x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Chú ý: Có thể dễ dàng chứng minh:  \( \tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \).

Vậy (*) \( {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)=\frac{11}{3}\Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3} \).