Đường thẳng y=m^2 cắt đồ thị hàm số y=x^4−x^2−10 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x=2x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng  \( y={{m}^{2}}\ge 0 \) luôn phía trên trục hoành nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi \( A\left( \sqrt{a};{{m}^{2}} \right)\) và  \( B\left( -\sqrt{a};{{m}^{2}} \right) \) là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a > 0.

Ta có:

+  \( A\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a-10={{m}^{2}} \) (1)

+ Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{m}^{4}}=a  \) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( {{m}^{8}}-{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-10=0\Leftrightarrow {{t}^{4}}-{{t}^{2}}-t-10=0 \) với  \( t={{m}^{2}}>0 \).

 \( \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+3t+5 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\in \left( 1;3 \right) \)