Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z−5−i)+2i=(6−i)z?

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \left| z \right|(z-5-i)+2i=(6-i)z  \) \( \Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)I \)      (1)

Lấy môđun hai vế của (1), ta có:

 \( \sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}} \)

Bình phương và rút gọn ta được:

 \( {{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+4\left| z \right|-4=0\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left| z \right|=1 \\  & {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left| z \right|=1 \\  & \left| z \right|=10,9667… \\  & \left| z \right|=0,62… \\ & \left| z \right|=-0,587… \\ \end{align} \right. \)

Do  \( \left| z \right|\ge 0 \) nên  \( \left[ \begin{align}  & \left| z \right|=1 \\  & \left| z \right|=10,9667… \\  & \left| z \right|=0,62… \\ \end{align} \right. \) thay vào (1) ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài.