Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+3i|=√3 và z/(z+2) số thuần ảo?

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi số phức  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)

Ta có:  \( \left| z+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+bi+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=13 \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b  \)    (1)

 \( \frac{z}{z+2}=1-\frac{2}{z+2}=1-\frac{2}{a+2+bi}=1-\frac{2(a+2-bi)}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( =\frac{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i  \)

Do  \( \frac{z}{z+2} \) là số thuần ảo nên \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=0\begin{matrix} {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & a\ne -2 \\  & b\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có  \( 4-6b+2a=0\Leftrightarrow a=3b-2 \) thay vào (1), ta có:

 \( {{(3b-2)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow 10{{b}^{2}}-6b=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & b=0\text{ }(\ell ) \\  & b=\frac{3}{5}\Rightarrow a=-\frac{1}{5} \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 1 số phức cần tìm.