Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z^3+2i|z|^2=0

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( {{z}^{3}}+2i{{\left| z \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow {{z}^{3}}+2iz.\bar{z}=0\Leftrightarrow z({{z}^{2}}+2i\bar{z})=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & z=0 \\  & {{z}^{2}}+2i\bar{z}=0\begin{matrix}  {} & (*)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

Gọi  \( z=x+yi\Rightarrow \bar{z}=x-yi  \) với  \( x,y\in \mathbb{R} \) thay vào (*), ta có:

 \( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y+2x(y+1)i=0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\  & 2x(y+1)=0 \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ y=-1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x=0 \\ -{{y}^{2}}+2y=0 \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1 \\ {{x}^{2}}-3=0 \end{cases} \\\end{array}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=y=0 \\ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=-\sqrt{3} \\ y=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\sqrt{3} \\ y=-1 \end{cases} \end{array}\right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & z=0 \\ & z=2i \\  & z=-\sqrt{3}-i \\  & z=\sqrt{3}-i \\ \end{align} \right. \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm.