Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−2019;2019) để hàm số y=(m−1)/5x^5+(m+2)/4x^4+m+5 đạt cực đại tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(m=1\Rightarrow y=\frac{3}{4}{{x}^{4}}+6\)\(\Rightarrow {y}’=3{{x}^{3}}\Rightarrow {y}’=0\Rightarrow x=0\)

Ta có: bảng xét dấu:  \( {y}’=2{{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, suy ra m = 1 (loại)

Ta xét: \(m\ne 1\)\(\Rightarrow {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}}\)

\(\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=0 \\  & {{x}_{2}}=-\frac{m+2}{m-1} \\ \end{align} \right.\)

Trường hợp 1: Xét m > 1, suy ra x2 < x1.

Ta có: bảng xét dấu:  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m > 1 (loại)

Trường hợp 2:  \( -2<m<1 \), suy ra x2 > x1.

Ta có, bảng xét dấu:  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Suy ra:  \( -2<m<1 \) (loại)

Trường hợp 3:  \( m<-2 \), suy ra x2 < x1.

Ta có, bảng xét dấu  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực đại. Suy ra  \( m<-2 \) (nhận).

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là m<-2 mà m thuộc khoảng  \( \left( -2019;2019 \right) \).

Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016.