Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \). Một mặt phẳng \( (\alpha ) \) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27 \). Diện tích tam giác ABC bằng
A. \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
B. \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \)
C. \( 3\sqrt{3} \)
D. \( 9\sqrt{3} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi H(a;b;c) là tiếp điểm của mặt phẳng \( (\alpha ) \) và mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có a, b, c là các số dương.
Mặt khác, \( H\in (S) \) nên \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3 \) hay \( O{{H}^{2}}=3\Leftrightarrow OH=\sqrt{3} \) (1)
Mặt phẳng \( (\alpha ) \) đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận \( \overrightarrow{OH}=(a;b;c) \) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó, mặt phẳng \( (\alpha ) \) có phương trình là:
\( a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=0 \)
\( \Leftrightarrow ax+by+cz-3=0 \).
Suy ra: \( A\left( \frac{3}{a};0;0 \right),\text{ }B\left( 0;\frac{3}{b};0 \right),\text{ }C\left( 0;0;\frac{3}{c} \right) \).
Theo đề: \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}+\frac{9}{{{b}^{2}}}+\frac{9}{{{c}^{2}}}=27\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=3 \) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=9 \).
Mặt khác, ta có: \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 9 \) và dấu “=” xảy ra khi \( a=b=c=1 \).
Suy ra, \( OA=OB=OC=3 \) và \( {{V}_{O.ABC}}=\frac{OA.OB.OC}{6}=\frac{9}{2} \).
Lúc đó: \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3{{V}_{O.ABC}}}{OH}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!